Question

Найти экстремум функции y=e^x/xПожалуйста решите, последние баллы!! ((​

Answer 1

Решение:

$y = \frac{e^x}{x}$

Найдём производную, используя такие правила:

$></p> <p></p> <p><img src=$

Чтобы найти экстремумы функции, нужно приравнять её производную к нулю:

$\frac{xe^x-e^x}{x^2} = 0$     ОДЗ: х ≠ 0

Чтобы уравнение было равно нулю, нужно приравнять его числитель к нулю (т.к. знаменатель не может быть равен 0):

$xe^x-e^x = 0\\\\e^x (x - 1) = 0\\\\\left \{ {{e^x=0} \atop {x-1=0}} \right.$

Уравнение e^x = 0 не имеет корней. Имеем:

х- 1 = 0

х = 1 - наш экстремум

Answer 2

Чтобы найти экстремум функции $y = \frac{e^x}{x}$, нужно найти её производную и найти точки, в которых производная равна нулю.

1. Найдем производную функции $y = \frac{e^x}{x}$. Для этого воспользуемся правилом дифференцирования частного: $y' = \frac{(x \cdot e^x - e^x \cdot 1)}{x^2} = \frac{xe^x - e^x}{x^2}.$

2. Теперь найдем точки, в которых производная равна нулю: $0 = \frac{xe^x - e^x}{x^2}.$

Мы видим, что $e^x$ является общим множителем, и его можно сократить: $0 = \frac{e^x(x - 1)}{x^2}.$

Теперь рассмотрим два случая:

a. $e^x = 0$ - этот случай не имеет решения, так как экспоненциальная функция $e^x$ никогда не равна нулю.

b. $x - 1 = 0$ - это случай, который дает нам решение: $x = 1.$

3. Теперь мы нашли единственную точку, в которой производная равна нулю, и это $x = 1$.

Чтобы определить, является ли это точка экстремумом, давайте проведем исследование знаков второй производной:

4. Найдем вторую производную: $y'' = \frac{d}{dx}\left(\frac{xe^x - e^x}{x^2}\right).$

Для этого используем правило дифференцирования частного и правило производной производной: $y'' = \frac{d}{dx}\left(\frac{xe^x - e^x}{x^2}\right) = \frac{d}{dx}\left(\frac{xe^x - e^x}{x^2}\right) = \frac{d}{dx}\left(\frac{xe^x - e^x}{x^2}\right).$

Далее мы можем вычислить $y''$ и оценить его знак в окрестности точки $x = 1$:

$y''(x) = \frac{(x^2 - 2x + 2)e^x}{x^3}.$

Теперь подставим $x = 1$ во вторую производную:

$y''(1) = \frac{(1^2 - 2 \cdot 1 + 2)e^1}{1^3} = (1 - 2 + 2)e = e > 0.$

Поскольку $y''(1) > 0$, это означает, что в точке $x = 1$ у нас имеется локальный минимум. Таким образом, $x = 1$ является точкой экстремума функции $y = \frac{e^x}{x}$, и это минимум.