Question

Помогите решить неравенство. Lg^2x+2lgx>3

Answer 1

Объяснение:

$lg^2x+2*lgx>3\\lg^2x+2*lgx-3>0.$

ОДЗ: х>0.

Пусть lgx=t       ⇒

$t^2+2t-3>0\\t^2+3t-t-3>0\\t*(t+3)-(t+3)>0\\(t+3)*(t-1)>0\ \ \ \ \Rightarrow\\ t+3=lgx+3=0\\lgx=-3\\lgx=-3*lg10\\lgx=lg10^{-3}\\x=10^{-3}=0,001.\\t-1=lgx-1=0\\lgx=1\\lgx=lg10\\x=10\ \ \ \ \Rightarrow\\(x-0,001)*(x-10)>0$

-∞__+__0,001__-__10__+__+∞        ⇒

x∈(-∞;0,001)U(10;+∞).

Учитывая ОДЗ:

Ответ: х∈(0;0,001)U(10;+∞).

Answer 2

Для решения данного неравенства, давайте воспользуемся свойствами логарифмов. Ваше неравенство выглядит следующим образом:

lg^2(x) + 2lg(x) > 3

Давайте введем новую переменную для упрощения выражения. Обозначим lg(x) как t, тогда наше неравенство примет вид:

t^2 + 2t > 3

Теперь давайте перенесем все члены на одну сторону и приведем уравнение к квадратному виду:

t^2 + 2t - 3 > 0

Теперь нам нужно решить это квадратное неравенство. Мы можем решить его, находя корни соответствующего квадратного уравнения:

t^2 + 2t - 3 = 0

Сначала найдем корни уравнения:

(t + 3)(t - 1) = 0

Отсюда получаем два корня: t = -3 и t = 1.

Теперь давайте построим знаки вокруг этих корней на числовой оси:

---(-3)---(-2)---(-1)---0---1---2---3---

Теперь выберем точки в каждом интервале и проверим знак выражения t^2 + 2t - 3 в каждом из них:

1. В интервале t < -3: Подставим t = -4, например. (-4)^2 + 2*(-4) - 3 = 16 - 8 - 3 = 5 Значение положительно.

2. В интервале -3 < t < -1: Подставим t = -2, например. (-2)^2 + 2*(-2) - 3 = 4 - 4 - 3 = -3 Значение отрицательно.

3. В интервале -1 < t < 1: Подставим t = 0, например. (0)^2 + 2*(0) - 3 = -3 Значение отрицательно.

4. В интервале t > 1: Подставим t = 2, например. (2)^2 + 2*(2) - 3 = 4 + 4 - 3 = 5 Значение положительно.

Таким образом, неравенство t^2 + 2t - 3 > 0 выполняется в интервалах t < -3 и t > 1. Теперь давайте вернемся к исходной переменной x:

t = lg(x)

Воспользуемся этим для нахождения интервалов для x:

1. Для t < -3: lg(x) < -3

2. Для t > 1: lg(x) > 1

Теперь найдем интервалы для x, используя свойства логарифмов:

1. Для x < 10^(-3) (поскольку 10^(-3) примерно равно 0.001): x < 0.001

2. Для x > 10^1 (поскольку 10^1 равно 10): x > 10

Итак, решение исходного неравенства lg^2(x) + 2lg(x) > 3 состоит из двух интервалов:

1. x < 0.001
2. x > 10