Question

СРОЧНО!!! Найдите остаток при делении 2в 100 степени на 7 на 11 на 13

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

Поделим степени на каждый делитель и посчитаем остатки,  получим повторяющуюся последовательность остатков

1)

2¹=2 остаток отделения на 7=2

2²=4 остаток отделения на 7=4

2³=8 остаток отделения на 7=1

2⁴=16 остаток отделения на 7=2

дальше остатки повторяются

последовательность остатков состоит из трех повторяющихся чисел

тогда [100/3]=33

100-33*3=100-99=1 на первое число в каждой тройке  выпадает остаток 2 ⇒

на 2¹⁰⁰ при делении на 13 дает остаток 3

2)

2¹=2 остаток отделения на 11=2

2²=4 остаток отделения на 11=4

2³=8 остаток отделения на 11=8

2⁴=16 остаток отделения на 11=5

2⁵=32 остаток отделения на 11=10

2⁶=64 остаток отделения на 11=9

2⁷=128 остаток отделения на 11=7

2⁸=256 остаток отделения на 11=3

2⁹=512 остаток отделения на 11=6

2¹⁰=1024 остаток отделения на 11=1

2¹¹=2048 остаток отделения на 11=2

Дальше остатки повторяются

на степень с нулем в конце выпадает остаток 1

⇒ 2¹⁰⁰ при делении на 11 дает остаток 1

3)

2¹=2 остаток отделения на 13=2

2²=4 остаток отделения на 13=4

2³=8 остаток отделения на 13=8

2⁴=16 остаток отделения на 13=3

2⁵=32 остаток отделения на 13=6

2⁶=64 остаток отделения на 13=12

2⁷=128 остаток отделения на 13=11

2⁸=256 остаток отделения на 13=9

2⁹=512 остаток отделения на 13=5

2¹⁰=1024 остаток отделения на 13=10

2¹¹=2048 остаток отделения на 13=7

2¹²=4096 остаток отделения на 13=1

2¹³=8192 остаток отделения на 13= 2

дальше остатки повторяются

последовательность остатков состоит из 12 повторяющихся чисел    

тогда [100/12]=8

100-12*8=100-96=4 на четвертое число выпадает остаток 3

на 2¹⁰⁰ при делении на 13 дает остаток 3

Дальше остатки повторяются

на степень с нулем выпадает остаток 1

⇒ 2¹⁰⁰ при делении на 11 дает остаток 1

Answer 2

Для нахождения остатка при делении $2^{100}$ на 7, 11 и 13, можно воспользоваться малой теоремой Ферма. Малая теорема Ферма утверждает, что если $p$ - простое число и $a$ не делится на $p$, то:

$a^{p-1} \equiv 1 \pmod{p}$

В данном случае:

1. Для $p = 7$: $2^{6} \equiv 1 \pmod{7}$, поэтому $2^{100} \equiv (2^{6})^{16} \equiv 1^{16} \equiv 1 \pmod{7}$.

2. Для $p = 11$: $2^{10} \equiv 1 \pmod{11}$, поэтому (2^{100} \equiv (2^{10})^{10} \equiv 1^{10} \equiv 1 \pmod{11}.

3. Для $p = 13$: $2^{12} \equiv 1 \pmod{13}$, поэтому $2^{100} \equiv (2^{12})^{8} \equiv 1^{8} \equiv 1 \pmod{13}$.

Таким образом, остаток при делении $2^{100}$ на 7, 11 и 13 равен 1.