Question

Y=(x^4/2)-4x^2 Дослідити дану функцію.

Answer 1

/////////////////////////

Answer 2

Для того чтобы исследовать данную функцию $Y = \frac{{x^4}}{2} - 4x^2$, вам потребуется провести анализ её свойств, таких как область определения, монотонность, экстремумы, асимптоты и поведение на бесконечности. Давайте разберемся с каждым из этих аспектов.

1. Область определения (Domain): Функция $Y$ определена для всех действительных чисел $x$, поэтому область определения $Y$ - это $\mathbb{R}$, что означает, что $Y$ определена для любого $x$.

2. Найдем производную $Y$ по $x$ и выясним монотонность функции: $Y'(x) = 2x^3 - 8x$. Для нахождения экстремумов приравняем производную к нулю: $2x^3 - 8x = 0$. Решим это уравнение: $2x(x^2 - 4) = 0$. Это уравнение имеет три корня: $x = 0$, $x = -2$, $x = 2$. Теперь определим монотонность функции в интервалах между этими корнями:

   • Для $x < -2$ производная $Y'(x)$ положительна (возрастает).
   • Для $-2 < x < 0$ производная $Y'(x)$ отрицательна (убывает).
   • Для $0 < x < 2$ производная $Y'(x)$ положительна (возрастает).
   • Для $x > 2$ производная $Y'(x)$ отрицательна (убывает).

3. Найдем точки экстремумов:

   • При $x = -2$, $Y(-2) = \frac{(-2)^4}{2} - 4(-2)^2 = 8$.
   • При $x = 0$, $Y(0) = \frac{0^4}{2} - 4(0)^2 = 0$.
   • При $x = 2$, $Y(2) = \frac{2^4}{2} - 4(2)^2 = 8$.

   Таким образом, у функции есть две точки экстремума: минимум при $x = 0$ и максимум при $x = -2$ и $x = 2$.

4. Найдем асимптоты: Функция $Y$ не имеет вертикальных асимптот. Давайте найдем горизонтальные асимптоты. При $x \to \infty$, член $\frac{x^4}{2}$ доминирует, и функция стремится к бесконечности. Таким образом, нет горизонтальной асимптоты. При $x \to -\infty$, функция также стремится к бесконечности. Нет горизонтальной асимптоты.

5. Поведение на бесконечности: Функция $Y$ убывает при $x \to -\infty$ и увеличивается при $x \to \inфініті$ (как видно из анализа монотонности).

Таким образом, данная функция $Y = \frac{x^4}{2} - 4x^2$ определена на всей числовой прямой, имеет точки экстремума в $x = 0$ (минимум) и $x = -2, 2$ (максимум), не имеет горизонтальных асимптот и стремится к бесконечности при $x \to \pm\infty$.