Question

Помогите пожалуйста решить уравнение y '+x^3√ y=3 y

Answer 1

.................................................

Answer 2

Давайте решим данное дифференциальное уравнение. Уравнение имеет вид:

y' + x^3√(y) = 3y

Для начала, мы можем преобразовать его, чтобы избавиться от корня. Для этого домножим обе стороны уравнения на √(y):

√(y) * (y' + x^3√(y)) = 3√(y) * y

Теперь давайте сделаем замену переменной. Пусть z = √(y), тогда z^2 = y. Теперь дифференцируем обе стороны по x:

dz/dx = (1/2) * (1/√(y)) * y'

Теперь можем переписать уравнение в терминах z:

(1/2) * (1/√(y)) * y' + x^3z = 3z^2

Теперь мы можем упростить это уравнение:

(1/2) * (1/z) * dz/dx + x^3z = 3z^2

Теперь умножим обе стороны на 2z:

dz/dx + 2xz = 6z^3

Это уравнение линейного типа, и мы можем его решить, используя метод интегрирующего множителя. Интегрирующий множитель - это функция μ(x), которая удовлетворяет следующему условию:

μ(x) = e^(∫2x dx)

Интеграл ∫2x dx равен x^2 + C, где C - константа интегрирования, поэтому интегрирующий множитель μ(x) равен:

μ(x) = e^(x^2 + C)

Теперь умножим обе стороны уравнения на μ(x):

e^(x^2 + C) * dz/dx + 2xe^(x^2 + C)z = 6z^3e^(x^2 + C)

Теперь левая сторона является полной производной от произведения μ(x) и z:

d/dx(e^(x^2 + C)z) = 6z^3e^(x^2 + C)

Теперь мы можем проинтегрировать обе стороны по x:

∫d/dx(e^(x^2 + C)z) dx = ∫6z^3e^(x^2 + C) dx

Интеграл слева даст нам просто e^(x^2 + C)z, а справа интеграл можно решить с помощью замены переменной. Пусть t = x^2 + C, тогда dt/dx = 2x и dx = dt/(2x). Подставим это:

e^(x^2 + C)z = ∫6z^3e^(t) * dt/(2x)

Теперь делим обе стороны на e^(x^2 + C) и упрощаем:

z = (3/2) ∫z^3e^t * dt

Теперь у нас есть уравнение, которое можно решить численно или методом разделения переменных. Решение этого уравнения будет зависеть от начальных условий. Если у вас есть начальное условие, например, значение z(x0), то вы можете решить уравнение и найти z(x) для заданного x.