Question

Знайдіть усі значення параметра а, при яких рівняння logx (ax-4)=2 має єдиний розв‘язок

Answer 1

Ответ:

(см. объяснение)

Объяснение:

$\log_x(ax-4)=2$

ОДЗ:

$\left\{\begin{array}{c}ax-4>0\\x>0\\x\ne1\end{array}\right;$

Решение:

$\log_x(ax-4)=2\\x^2-ax+4=0 \\ax=x^2+4$

Заметим, что для любого корня уравнения вне зависимости от значения параметра $a$ произведение $ax$ будет больше или равно 4.

Причем $ax=4$, если $x=0$ - корень уравнения. Но это невозможно, так как при $x=0$ имеем $4=0$ (неверно) при любом значении параметра.

Тогда $ax>4$, то есть условие ОДЗ $ax-4>0$ будет выполнятся всегда.

Исходное уравнение будет иметь ровно один корень, либо если $x^2-ax+4=0$ имеет один корень, удовлетворяющий ОДЗ, либо если это уравнение имеет два корня, только один из которых удовлетворяет ОДЗ.

Рассмотрим первый случай. Он достижим, когда $D=0$.

$D=a^2-16\\a^2-16=0\\a=\pm4$

При $a=-4$ уравнение имеет корень $x=-2$, поэтому такое значение параметра не подходит.

При $a=4$ уравнение имеет корень $x=2$, поэтому такое значение параметра подходит.

Рассмотрим второй случай. Он достижим, когда $D>0$.

Здесь также важно, чтобы уравнение либо имело один корень $x=1$, а другой положительный, либо один корень неположительный, а другой положительный, не равный единице.

Обратимся к первой ситуации:

$1^2-a\times1+4=0\\a=5$

В этом случае уравнение имеет корни $x=1$ или $x=4$, первый из которых, отпадая, обеспечивает наличие единственного корня у исходного уравнения. Тогда такое значение параметра подходит.

Для того чтобы вторая ситуация могла быть достижимой, необходимо, но не достаточно, чтобы выполнялось условие $x^2-ax+4\le0$ при $x=0$. Однако это невозможно, поэтому такой вариант рассматривать дальше не будем.

Итого при $a=4$ или $a=5$ исходное уравнение имеет единственное решение.

Задание выполнено!

Answer 2

Щоб знайти всі значення параметра "a", при яких рівняння logₓ(ax - 4) = 2 має єдиний розв'язок, спочатку ми повинні розглянути умови для єдиного розв'язку логарифмічного рівняння.

Умова для єдиного розв'язку логарифмічного рівняння така: аргумент логарифма повинен бути позитивним числом, і логарифм має бути визначеним (тобто, логарифм від позитивного числа не може бути від'ємним або не визначеним).

1. Аргумент логарифма повинен бути позитивним числом: ax - 4 > 0. З цього отримуємо, що ax > 4.

2. Логарифм повинен бути визначеним: x > 0.

Тепер ми можемо об'єднати обидві умови:

ax > 4 x > 0

Розглянемо першу умову (ax > 4):

Якщо a > 0, то можемо поділити обидві сторони на "a" без зміни напрямку нерівності: x > 4/a

Друга умова (x > 0) завжди справедлива для додатних значень "x".

Отже, параметр "a" повинен задовольняти умову: a > 0

Зараз ми знаємо, що "a" повинен бути додатним числом.

Для знаходження всіх значень параметра "a", при яких рівняння logₓ(ax - 4) = 2 має єдиний розв'язок, нам потрібно дізнатися, коли це рівняння має єдиний розв'язок.

Рівняння logₓ(ax - 4) = 2 має єдиний розв'язок, коли логарифм має значення 2, тобто: logₓ(ax - 4) = 2

За визначенням логарифма, це означає: x² = ax - 4

Це рівняння має єдиний розв'язок, коли дискримінант рівняння дорівнює нулю. Дискримінант дорівнює:

Δ = (a)² - 4(1)(-4) = a² + 16

Δ = a² + 16 = 0

a² = -16

Ця рівність не має розв'язків у дійсних числах, оскільки квадрат дійсного числа завжди більше або рівний нулю. Отже, це рівняння не має розв'язків при дійсних значеннях параметра "a".

Отже, рівняння logₓ(ax - 4) = 2 має єдиний розв'язок лише для "a" > 0, але немає жодного значення "a", при якому дискримінант дорівнює нулю, отже, немає значень "a", для яких це рівняння має єдиний розв'язок.