Question

ЕСЛИ ВЕКТОРЫ 2a+b и a-3b перпендикулярны. и по условии a=2b найдите угол между векторами а)120° б)30° в)150° г)60°

Answer 1

Если два вектора перпендикулярны, то их скалярное произведение равно нулю:

$(2\vec{a}+\vec{b})\cdot(\vec{a}-3\vec{b})=0$

$2(\vec{a})^2+\vec{a}\cdot\vec{b}-2\vec{a}\cdot3\vec{b}-3(\vec{b})^2=0$

$2|\vec{a}|^2-5\cdot\vec{a}\cdot\vec{b}-3|\vec{b}|^2=0$

$2|\vec{a}|^2-5\cdot|\vec{a}|\cdot|\vec{b}|\cdot\cos\varphi-3|\vec{b}|^2=0$

Так как $a=2b$, то:

$2|2\vec{b}|^2-5\cdot|2\vec{b}|\cdot|\vec{b}|\cdot\cos\varphi-3|\vec{b}|^2=0$

$8|\vec{b}|^2-10|\vec{b}|^2\cdot\cos\varphi-3|\vec{b}|^2=0$

$5|\vec{b}|^2-10|\vec{b}|^2\cdot\cos\varphi=0$

$5-10\cos\varphi=0$

$10\cos\varphi=5$

$\cos\varphi=\dfrac{1}{2}$

Учитывая, что $\varphi$ - угол между векторами, то есть величина, принимающая значения на отрезке $[0^\circ;\ 180^\circ]$, то:

$\varphi=60^\circ$

Ответ: 60 градусов

Answer 2

Для того чтобы два вектора были перпендикулярными, их скалярное произведение должно быть равно нулю. Давайте рассмотрим векторы 2a + b и a - 3b:

2a + b = 2(2b) + b = 4b + b = 5b a - 3b = (2b) - 3b = -b

Теперь найдем скалярное произведение этих векторов:

(2a + b) * (a - 3b) = 5b * (-b) = -5b^2

Скалярное произведение равно -5b^2. Так как a = 2b, мы можем выразить b через a:

b = a/2

Теперь мы можем подставить это значение в скалярное произведение:

-5b^2 = -5(a/2)^2 = -5(a^2/4)

Теперь у нас есть скалярное произведение в терминах a. Теперь давайте рассмотрим варианты углов:

а) 120° б) 30° в) 150° г) 60°

Для каждого варианта угла найдем косинус угла между векторами и выразим его через скалярное произведение:

a) Угол 120°: cos(120°) = -1/2

б) Угол 30°: cos(30°) = √3/2

в) Угол 150°: cos(150°) = -√3/2

г) Угол 60°: cos(60°) = 1/2

Теперь мы можем сравнить значения косинусов с выражением для скалярного произведения:

-5(a^2/4) = -5a^2/4

Сравнивая с косинусами, мы видим, что только для угла 60° (г) косинус совпадает с выражением для скалярного произведения:

cos(60°) = 1/2 = -5a^2/4

Таким образом, угол между векторами 2a + b и a - 3b равен 60° (г).