Question

На представление пришёл 2021 зритель, и все они сели в сплошном ряду. Некоторые из них ушли на антракт и, вернувшись, сели в другие кресла. Могло ли так получиться, что расстояния между любыми двумя зрителями до и после антракта оказались не равны друг другу?

Answer 1

Ответ:

Да, такое возможно!

Объяснение:

Пусть все зрители ушли на антракт, а когда вернулись, то на места сначала сели зрители с нечётными номерами, а затем все с чётными. В этом случаем мы можем быть уверены, что расстояние между двумя любыми чётными и двумя любыми нечётными изменилось, так как между любыми двумя чётными зрителями пропали нёчытные, а между любыми двумя нечётными зрителями пропали чётные. Поэтому осталось одна ситуация, которую нужно рассмотреть, когда между зрителями с чётным и нечётным номером расстояние могло не изменится. $2x$ – чётное число, $2y-1$ – нечётное число. Тогда после антракта нечётные зрители сидят на позиции $x$, а чётные на позиции $1011+y$ (так как 1011 – количество зрителей с нечётными номерами). Нам нужно сравнить, может ли старое расстояние равняться новому:$| 2y-1-2x | = 1011+x-y$. Уравнение имеет две переменные, что не очень удобно, поэтому обозначим $x-y=z$: $| -2z-1 | = 1011+z$. Раскрывая модуль, мы получаем два случая:

1) $z=-\frac{1012}{3}$ – такое невозможно, так как z – разность мест (x-y), оно не может быть дробным

2) $z=1010$

$z=x-y$, тогда $x=z+y\geq 1011$, так как $z=1010$. Если мы поптаемся найти такую пару зрителей, чтобы после антракта расстояние бы совпало, то найти зрителя с чётным номером не получится, потому что $2x\geq 2022$, а зрителя с таким номером не существует

Answer 2

Да, это могло произойти. Давайте представим, что в начале представления зрители сели в следующем порядке (где каждое число представляет одного зрителя, а расстояние между ними измеряется в количестве кресел):

1 - 2 - 3 - 4 - 5

Затем некоторые из них ушли на антракт и вернулись, но сели в другом порядке. Допустим, они сели следующим образом:

1 - 4 - 2 - 5 - 3

Теперь расстояния между зрителями до и после антракта различны:

• Расстояние между зрителем 1 и зрителем 2 увеличилось с 1 до 3.
• Расстояние между зрителем 2 и зрителем 3 уменьшилось с 1 до 0.
• Расстояние между зрителем 3 и зрителем 4 увеличилось с 1 до 2.
• Расстояние между зрителем 4 и зрителем 5 уменьшилось с 1 до 0.

Таким образом, расстояния между зрителями до и после антракта оказались не равны друг другу.