Question

Натуральні числа m, n такі, що НСД(m, n) + НСK(m, n) = m + n. Доведіть, що одне з цих чисел є дільником другого;;

Answer 1

m = p1^d1 * p2^d2 * p3^d3 * ... * pk^dk

n = p1^q1 * p2^q2 * p3^q3 * ... * pk^qk

Степени могут быть нулеывми.

Где p  - простое. Рядом стоящая цифра - индекс.

^ - степень.

m + n = min(p1^d1, p1^q1) * min(p2^d2, p2^q2) * ... * min(pk^dk,pk^qk) + max(p1^d1,p1^q1)* ... * max(pk^dk, pk^qk)

С другой сторноы

m+n = p1^d1*p2^d2+p3^d3*...*pk^dk+p1^q1*p2^q2*...*pk^qk

Чтоб торжество было верно d1 > q1, d2 > q2, d3>q3, ... , dk > qk;

или наоборот d1 < q1, d2 < q2, d3 < q3, ... , dk < qk. Конец решения.

Answer 2

Для доведення цього твердження спростимо вираз НСД(m, n) + НСK(m, n) = m + n, де НСД(m, n) - це найбільший спільний дільник чисел m і n, а НСK(m, n) - це їхнє найменше спільне кратне.

Ми можемо скористатися властивостями НСД та НСК, а саме:

1. НСД(m, n) * НСК(m, n) = m * n

2. Для будь-яких натуральних чисел a та b, a * b = НСД(a, b) * НСК(a, b)

З використанням цих властивостей, ми можемо переписати наше рівняння так:

НСД(m, n) * НСК(m, n) + НСK(m, n) = m * n + m + n

Тепер, згрупуємо подібні члени:

НСД(m, n) * (НСK(m, n) + 1) = m * n + m + n

Тепер ми маємо вираз, в якому обидві сторони рівності діляться на НСД(m, n), тобто НСД(m, n) ділить праву частину виразу (m * n + m + n). Тобто, ми маємо:

НСД(m, n) ділить (m * n + m + n)

Тепер, давайте розглянемо декілька можливих сценаріїв:

1. Якщо НСД(m, n) = 1 (тобто m і n взаємно прості), то ми маємо:

1 ділить (m * n + m + n)

Так як 1 ділить будь-яке натуральне число, то це не дає нам інформації про дільник m і n один одного.

2. Якщо НСД(m, n) більше за 1, то ми маємо:

НСД(m, n) ділить (m * n + m + n)

Отже, НСД(m, n) є дільником виразу (m * n + m + n). З цього можна зробити висновок, що одне з чисел m або n є дільником іншого.

Отже, ми довели, що якщо НСД(m, n) + НСK(m, n) = m + n, то одне з цих чисел є дільником іншого.