Question

Если x=√2+√3+√6- это корень уравнения x⁴+ax³+bx²+cx+d=0, где a,b,c,d – целые числа, то чему равно значение выражения |a+b+c+d|?

Answer 1

Ответ:       | a + b + c + d | = 93 .

Объяснение:

x=√2+√3+√6  -  корiнь рівняння x⁴+ax³+bx²+cx+d=0. Перетворимо

корінь :    x - √2 = √3+√6 ;      піднесемо до квадрата :

                ( x - √2)² = (√3+√6)² ;

        x² - 2√2 x + 2 = 3 + 2√3*√6 + 6 ;

        x² - 2√2 x + 2 = 9 + 2√3*√6 ;

        x² - 7 = 2√2 x + 2√18 ;     піднесемо до квадрата :

        ( x² - 7)² = (2√2 x + 2√18)² ;

     x⁴ - 14x² + 49 = 8x² + 48x + 72 ;

     x⁴ - 22x² - 48x -  23 = 0 . Порівняємо коефіцієнти цього многочлена

і заданого в умові :      a = 0 ;  b = - 22 ; c = - 48 ; d = - 23 . Знайдемо

значення  виразу :     | a + b + c + d | = | 0 - 22 - 48 - 23 | = | - 93 | = 93 .

   

Answer 2

Давайте рассмотрим уравнение x⁴+ax³+bx²+cx+d=0. Мы знаем, что x=√2+√3+√6 является корнем этого уравнения. Теперь давайте попробуем найти остальные корни, используя данное значение.

Поскольку коэффициенты a, b, c и d являются целыми числами, и корни уравнения тоже должны быть целыми, то мы должны рассмотреть сопряженные корни. Если x=√2+√3+√6 является корнем, то его сопряженный корень будет x=-(√2+√3+√6), так как сумма корень и его сопряженного корня равна -a.

Теперь, с учетом этого, давайте рассмотрим произведение корней (x1, x2, x3 и x4) уравнения x⁴+ax³+bx²+cx+d=0. По свойствам многочленов:

x1 * x2 * x3 * x4 = d

Мы уже знаем, что x1 и x2 равны √2+√3+√6 и -(√2+√3+√6), соответственно. Теперь нам нужно найти два оставшихся корня. Давайте обозначим их как x3 и x4.

(x3 * x4) = d / (x1 * x2) = d / ((√2+√3+√6) * (-(√2+√3+√6)))

Теперь, учитывая, что (√2+√3+√6) * (-(√2+√3+√6)) равно разности квадратов:

(√2+√3+√6) * (-(√2+√3+√6)) = -(2 + 3 + 6) = -11

Итак, (x3 * x4) = d / (-11)

Теперь, мы также знаем, что сумма корней равна -a. Мы знаем два корня (x1 и x2), и нам нужно найти сумму оставшихся двух (x3 и x4). Сумма корней равна:

x1 + x2 + x3 + x4 = -a

Мы знаем, что x1 и x2 равны √2+√3+√6 и -(√2+√3+√6), и мы обозначили x3 и x4 как неизвестные. Поэтому:

(√2+√3+√6) + (-(√2+√3+√6)) + x3 + x4 = -a

0 + x3 + x4 = -a x3 + x4 = -a

Теперь, у нас есть два уравнения:

(x3 * x4) = d / (-11) x3 + x4 = -a

Теперь мы можем найти |a+b+c+d|:

|a + b + c + d| = |a + 0 + 0 + d| = |a + d|

Теперь, мы знаем, что x1, x2, x3 и x4 - это корни уравнения, и их сумма равна нулю:

x1 + x2 + x3 + x4 = 0

(a+b+c+d) = 0

Таким образом, |a + d| = |0 + d| = |d|

Итак, значение выражения |a+b+c+d| равно |d|.