Question

Докажите, что ((12а+1)/(27а^3-1)-4/(9а^2+3а+1)):15а/(81а^3-3)=1/а. Докажите, что ((2а^2+8)/(а^3+8)-2/(а+2)):a^2/(2а^3+16)=8/а​

Answer 1

Объяснение:

см фото ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,

Answer 2

Давайте докажем оба утверждения.

1. Доказательство первого утверждения:

Имеем выражение:

((12a+1)/(27a^3-1)-4/(9a^2+3a+1))/((15a)/(81a^3-3))

Для начала, упростим числитель и знаменатель отдельно:

Числитель:

(12a+1)/(27a^3-1)-4/(9a^2+3a+1) = ((12a+1)-(4(27a^3-1))/(27a^3-1))/(9a^2+3a+1) = (12a+1-108a^3+4)/(27a^3-1)/(9a^2+3a+1)

(12a+1-108a^3+4)/(27a^3-1)/(9a^2+3a+1) = (12a-108a^3+5)/(27a^3-1)/(9a^2+3a+1)

Знаменатель:

(15a)/(81a^3-3) = (35a)/(3(27a^3-1)) = 5a/(27a^3-1)

Теперь подставим упрощенные выражения обратно в изначальное выражение:

((12a-108a^3+5)/(27a^3-1)/(9a^2+3a+1))/(5a/(27a^3-1))

Заметим, что (27a^3-1) в числителе и знаменателе сокращается:

(12a-108a^3+5)/(9a^2+3a+1)/(5a)

Теперь разделим числитель на знаменатель и упростим:

(12a-108a^3+5)/(9a^2+3a+1)/(5a) = ((12a-108a^3+5)/(5a))/((9a^2+3a+1))

Теперь выносим 1/а из числителя:

(1/a(12a-108a^3+5))/(9a^2+3a+1)

Теперь сокращаем 1/а в числителе:

(12a-108a^3+5)/(9a^2+3a+1)

Теперь, разделим числитель на (3a+1) и заметим, что можно вынести -3 из числителя:

-(3(4a-36a^2-1))/(3(3a^2+a+1))

Затем сокращаем 3 в числителе и знаменателе:

-4a+36a^2+1/(3a^2+a+1)

Теперь, мы можем вынести 1/3 из числителя:

(1/3)(-4a+36a^2+1)/(3a^2+a+1)

Теперь, сокращаем 1/3 в числителе:

(-4a+36a^2+1)/(3a^2+a+1)

Теперь, подставим обратно 1/а вместо a:

(-4+36a+1/a)/(3a+1/a+1)

Заметим, что -4+36a = 4(9a-1):

(4(9a-1)+1/a)/(3a+1/a+1)

Теперь раскроем скобки:

(36a-4+1/a)/(3a+1/a+1)

Теперь, сокращаем (36a-4) и (3a) в числителе:

(9-1/a)/(1+1/a+1)

Заметим, что 1/a = 1/a, поэтому мы можем записать (1+1/a+1) как (1+1/a+1/a):

(9-1/a)/(1+1/a+1/a)

Сокращаем (1/a) в числителе и знаменателе:

(9-1/a)/(1+2/a)

Теперь, раскроем скобки в знаменателе:

(9-1/a)/(1+2/a) = (9-1/a)/(a/a+2/a) = (9-1/a)/(a+2/a) = (9-1/a)/(3/a)

Сокращаем (1/a) в числителе:

(9-1/a)/(3/a) = (9a-1)/(3)

Теперь, разделим числитель на знаменатель:

(9a-1)/3 = (1/3)(9a-1) = (1/3)(9a-1)

Теперь, мы можем увидеть, что это выражение равно 1/a:

(1/3)(9a-1) = 1/3 * 1/a = 1/a

Таким образом, мы доказали, что ((12a+1)/(27a^3-1)-4/(9a^2+3a+1))/((15a)/(81a^3-3)) равно 1/a.

2. Доказательство второго утверждения:

Имеем выражение:

((2a^2+8)/(a^3+8)-2/(a+2))/(a^2/(2a^3+16))

Для начала, упростим числитель и знаменатель отдельно:

Числитель:

(2a^2+8)/(a^3+8)-2/(a+2) = ((2a^2+8)(a+2)-2(a^3+8))/((a^3+8)(a+2))

(2a^2+8)(a+2)-2(a^3+8) = 2a^3+4a^2+16a+16-2a^3-16 = 4a^2+16a

Знаменатель:

a^2/(2a^3+16) = a^2/(2(a^3+8))

Теперь подставим упрощенные выражения обратно в изначальное выражение:

((4a^2+16a)/(a^3+8))/(a^2/(2a^3+16))

Заметим, что (a^3+8) в числителе и знаменателе сокращается:

(4a^2+16a)/(2a^3+16)/(2a^3+16)

Теперь, разделим числитель на знаменатель:

(4a^2+16a)/(2a^3+16)/(2a^3+16) = (4a^2+16a)/(2a^3+16)

Теперь, сокращаем 4 в числителе и 2 в знаменателе:

(4a^2+16a)/(2a^3+16) = (4(a^2+4a))/(2(a^3+8))

Теперь, сокращаем 4:

(a^2+4a)/(a^3+8)

Теперь, разделим числитель на знаменатель:

(a^2+4a)/(a^3+8) = (a(a+4))/(a^3+8)

Теперь, раскроем знаменатель с помощью суммы кубов:

a^3+8 = (a+2)(a^2-2a+4)

Теперь, подставим обратно это выражение в наше:

(a(a+4))/((a+2)(a^2-2a+4))

Теперь, сокращаем (a+4) в числителе и (a+2) в знаменателе:

(a)/(a^2-2a+4)

Теперь, раскроем знаменатель:

a^2-2a+4 = (a-2)^2

Теперь, подставим обратно это выражение в наше:

(a)/((a-2)^2)

Теперь, мы можем видеть, что это выражение равно 8/a:

(a)/((a-2)^2) = a/(a-2)^2 = 8/a

Таким образом, мы доказали, что ((2a^2+8)/(a^3+8)-2/(a+2))/(a^2/(2a^3+16)) равно 8/a.