Question

Докажите неравенства: 1) a^2-6a+10>0 2)12y-4y^2-11<0 3)a(a-8)>2(a-13) 4)x^2+4y^2+6x+4y+10>или=0 5)x^2-10xy+26y^2+12y+40>0

Answer 1

Объяснение:

Интересные неравенства

Answer 2

Конечно, давайте решим эти неравенства по очереди:

1. $a^2-6a+10>0$

Для начала, посмотрим на дискриминант квадратного уравнения $a^2-6a+10$:

$D = (-6)^2 - 4*1*10 = 36 - 40 = -4.$

Так как дискриминант отрицателен, это означает, что уравнение не имеет решений, и квадратный трёхчлен всегда положителен. Таким образом, неравенство $a^2-6a+10>0$ выполняется для любого $a$.

2. $12y-4y^2-11<0$

Перепишем это уравнение в виде квадратного трёхчлена: $-4y^2 + 12y - 11$. Дискриминант этого уравнения:

$D = 12^2 - 4*(-4)*(-11) = 144 - 176 = -32.$

Так как дискриминант отрицателен, квадратный трёхчлен всегда отрицателен. Следовательно, неравенство $12y-4y^2-11<0$ выполняется для всех значений $y$.

3. $a(a-8) > 2(a-13)$

Раскроем скобки:

$a^2 - 8a > 2a - 26.$

Получим квадратное неравенство:

$a^2 - 10a + 26 > 0.$

Дискриминант этого уравнения:

$D = (-10)^2 - 4*1*26 = 100 - 104 = -4.$

Так как дискриминант отрицателен, квадратный трёхчлен $a^2 - 10a + 26$ всегда положителен. Таким образом, неравенство $a(a-8) > 2(a-13)$ выполняется для любого $a$.

4. $x^2+4y^2+6x+4y+10 \geq 0$

Чтобы решить это неравенство, попробуем представить выражение в виде суммы квадратов:

$x^2 + 6x + 9 + 4y^2 + 4y + 1\geq 0.$

Это можно переписать как:

$(x+3)^2 + 4(y+\frac{1}{2})^2 + 8 \geq 0.$

Так как квадраты в обоих частях неравенства всегда неотрицательны, данное неравенство выполняется для всех действительных значений $x$ и $y$.

5. $x^2-10xy+26y^2+12y+40 > 0$

Рассмотрим это квадратное уравнение как квадратичную форму $Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F > 0$. Для того чтобы неравенство $Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F > 0$ было выполнено для всех значений $x$ и $y$, дискриминант $B^2 - 4AC$ должен быть отрицательным.

Рассчитаем дискриминант:

$(-10)^2 - 4*1*26 = 100 - 104 = -4.$

Так как дискриминант отрицателен, это означает, что неравенство $x^2-10xy+26y^2+12y+40 > 0$ выполняется для всех действительных значений $x$ и $y$.