Question

1.Докажите, что 35^3 + 75^3 делится на 110 2.Найдите все натуральные m, при которых выражение 3m+8/m является натуральным числом 3.Найдите последнюю цифру числа 8^2011, 2^2167

Answer 1

Объяснение:

1. 35^3 + 75^3

Есть формула сокращенного умнажения(ФСУ) сумма кубов. см. в картинке. Тогда получаем.

35^3+75^3=(35+75)(35^2-35*75+75^2)=110(35^2-35*75+75^2)

Тогда при делении на 110 множитель 110 исчезает.

2. 3m+8/m

Натуральные числа это число используемые при счёте, причем ноль не входит. Например: 1, 2, 3, 4, 5, 6...

3*1+8/1=11

3*2+8/2=7

3*4+8/4=14

3*8+8/8=25

Ответ: 1, 2, 4, 8.

3. 8^2011

при возведении в степень. Последняя цифра повторяется с периодичностью 4.

8^1=8        

8^2=64      

8^3=512      

8^4=4096      

8^5=32768

8^6=262144

8^7=2097152

8^8=16777216

8^9=134217728

...

Делим 2011 на 4, получаем остаток 3. Тогда последняя цифра 2.

Ответ: 2.

2^2167

При возведении в степень. Последняя цифра повторяется с периодичностью 4.

2^1=2

2^2=4

2^3=8

2^4=16

2^5=32

2^6=64

2^7=128

...

Делим 2167 на 4, получаем остаток 3. Последняя цифра 8.

Ответ: 8.

Answer 2

1. Докажем, что $35^3 + 75^3$ делится на 110.

Мы можем воспользоваться тождеством суммы кубов:

$a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$

В данном случае, $a = 35$ и $b = 75$, поэтому:

$35^3 + 75^3 = (35 + 75)(35^2 - 35 \cdot 75 + 75^2)$

Теперь мы можем упростить это выражение:

$35 + 75 = 110$

$35^2 - 35 \cdot 75 + 75^2 = 35^2 - 35 \cdot 3 \cdot 25 + 3 \cdot 25^2 = 35^2 - 3 \cdot 35 \cdot 25 + 3 \cdot 25^2 = 3 \cdot (35^2 - 35 \cdot 25 + 25^2)$

Мы видим, что $35^2 - 35 \cdot 25 + 25^2$ также делится на 3, так как все слагаемые кратны 3. Теперь мы можем записать $35^3 + 75^3$ как произведение 110 и некоторого целого числа, следовательно, $35^3 + 75^3$ делится на 110.

2. Найдем все натуральные $m$, при которых выражение $\frac{3m+8}{m}$ является натуральным числом.

$\frac{3m+8}{m} = 3 + \frac{8}{m}$

Чтобы выражение было натуральным числом, $\frac{8}{m}$ также должно быть натуральным числом. Таким образом, $m$ должно быть делителем числа 8.

Делители числа 8: 1, 2, 4, 8.

Значит, все натуральные $m$, при которых выражение $\frac{3m+8}{m}$ является натуральным числом, это $m = 1, 2, 4, 8$.

3. Найдем последние цифры чисел $8^{2011}$ и $2^{2167}$.

Для $8^{2011}$:

$8$ возводится в степень, и его последняя цифра равна $8$.

Для $2^{2167}$:

Последние цифры степеней числа $2$ чередуются между $2$ и $4$ (начиная с $2^1$ - $2, 4, 8, 6$). В данном случае, $2167$ делится на $4$ без остатка, поэтому последняя цифра числа $2^{2167}$ равна $6$.