Question

Решите уравнение 2 |x-5| -1 = 3|2x-5| -4|x-1|

Answer 1

Ответ:

x=1,25, x∈[5; +∞]

Объяснение:

2 |x-5| -1 = 3|2x-5| -4|x-1|

a≥0⇒|a|=a

a≤0⇒|a|=-a

1) x≤1⇒x-5<0; 2x-5<0; x-1≤0⇒|x-5|=-(x-5); |2x-5|=-(2x-5); |x-1|=-(x-1)

2(5-x)-1=3(5-2x)-4(1-x)

10-2x-1=15-6x-4+4x

-2x+6x-4x=15-4-10+1

0=2⇒x∈∅

2) 1<x≤2,5⇒x-5<0; 2x-5≤0; x-1>0⇒|x-5|=-(x-5); |2x-5|=-(2x-5); |x-1|=x-1

2(5-x)-1=3(5-2x)-4(x-1)

10-2x-1=15-6x-4x+4

-2x+6x+4x=15+4-10+1

8x=10

x=1,25∈(1; 2,5]

3) 2,5<x≤5⇒x-5≤0; 2x-5>0; x-1>0⇒|x-5|=-(x-5); |2x-5|=2x-5; |x-1|=x-1

2(5-x)-1=3(2x-5)-4(x-1)

10-2x-1=6x-15-4x+4

-2x-6x+4x=-15+4-10+1

-4x=-20

x=5∈(2,5; 5]

4) x>5⇒x-5>0; 2x-5>0; x-1>0⇒|x-5|=x-5; |2x-5|=2x-5; |x-1|=x-1

2(x-5)-1=3(2x-5)-4(x-1)

2x-10-1=6x-15-4x+4

2x-6x+4x=-15+4+10+1

0=0

x∈(5; +∞]

Answer 2

Для решения данного уравнения, мы начнем с того, чтобы разбить его на несколько случаев в зависимости от знаков выражений внутри модулей. Уравнения с модулями могут иметь несколько решений в зависимости от того, какие значения переменных лежат внутри модулей. Давайте рассмотрим три основных случая:

1. Если оба выражения в модулях положительны: 2 * (x - 5) - 1 = 3 * (2x - 5) - 4 * (x - 1)

2. Если оба выражения в модулях отрицательны: 2 * (-(x - 5)) - 1 = 3 * (-(2x - 5)) - 4 * (-(x - 1))

3. Если одно выражение в модуле положительно, а другое отрицательно, то мы получим два случая: a) 2 * (x - 5) - 1 = 3 * (-(2x - 5)) - 4 * (x - 1) b) 2 * (-(x - 5)) - 1 = 3 * (2x - 5) - 4 * (-(x - 1))

Давайте решим каждый из этих случаев:

1. Если оба выражения в модулях положительны: 2 * (x - 5) - 1 = 3 * (2x - 5) - 4 * (x - 1)

Раскроем скобки: 2x - 10 - 1 = 6x - 15 - 4x + 4

Сгруппируем переменные x на одной стороне и числа на другой: 2x - 6x + 4x = 10 - 1 + 15 + 4

Упростим: 0x = 28

Это уравнение не имеет решения. В данном случае, оба выражения в модулях не могут быть положительными одновременно.

2. Если оба выражения в модулях отрицательны: 2 * (-(x - 5)) - 1 = 3 * (-(2x - 5)) - 4 * (-(x - 1))

Раскроем скобки и учтем, что модуль от отрицательного числа равен положительному числу с обратным знаком: -2x + 10 - 1 = -6x + 15 + 4x - 4

Сгруппируем переменные x и числа: -2x + 10 - 1 + 6x - 4x = 15 - 4

Упростим: 0x + 5 = 11

Это уравнение также не имеет решения.

3. Если одно выражение в модуле положительно, а другое отрицательно, то у нас есть два случая:

a) 2 * (x - 5) - 1 = 3 * (-(2x - 5)) - 4 * (x - 1) Раскроем скобки и учтем модуль от отрицательного числа: 2x - 10 - 1 = -3(2x - 5) - 4x + 4

Сгруппируем переменные x и числа: 2x + 3(2x - 5) - 4x = 10 + 1 + 4

Раскроем скобки: 2x + 6x - 15 - 4x = 15

Упростим: 4x - 15 = 15

Прибавим 15 к обеим сторонам: 4x = 30

Разделим обе стороны на 4: x = 30 / 4 x = 7.5

b) 2 * (-(x - 5)) - 1 = 3 * (2x - 5) - 4 * (-(x - 1)) Раскроем скобки и учтем модуль от отрицательного числа: -2x + 10 - 1 = 3(2x - 5) - 4x + 4

Сгруппируем переменные x и числа: -2x + 3(2x - 5) - 4x = 10 + 1 + 4

Раскроем скобки: -2x + 6x - 15 - 4x = 15

Упростим: 0x - 15 = 15

Прибавим 15 к обеим сторонам: 0x = 30

Умножим обе стороны на 0 (любое число умноженное на 0 равно 0): 0 = 0

Это уравнение верно для любого значения x.

Итак, уравнение имеет два решения: x = 7.5 и любое значение x (0 = 0).