Question

2cos^2x+2sin2x=3Как решить​

Answer 1

Ответ: x1=π/4+k*π, где k∈Z; x2=1/2*(-1)^(n)*arcsin(0,6)+π*n/2, где n∈Z.

Объяснение:

Перепишем уравнение в виде 2*cos²(x)+2*sin(2*x)-3=0. Так как 2*cos²(x)=1+cos(2*x), то данное уравнение можно записать в виде: 1+cos(2*x)+2*sin(2*x)-3=0, или 2*sin(2*x)+cos(2*x)-2=0. Положим 2*x=t, тогда данное уравнение перепишется в виде: 2*sin(t)+cos(t)-2=0. А так как cos(t)=√[1-sin²(t)], то его можно записать и так: √[1-sin²(t)]=2-2*sin(t), или √[1-sin²(t)]=2*[1-sin(t)]. Возводя обе части в квадрат и приводя подобные члены, приходим к уравнению 5*sin²(t)-8*sin(t)+3=0. Полагая u=sin(t), получаем квадратное уравнение 5*u²-8*u+3=0. Оно имеет корни u1=1 и u2=0,6. Если u1=sin(t1)=1, то t1=π/2+2*k*π, где k∈Z. Тогда x1=t1/2=π/4+k*π, где k∈Z. Если же u1=sin(t2)=0,6, то t2=(-1)^(n)*arcsin(0,6)+π*n, где n∈Z. Тогда x2=t2/2=1/2*(-1)^(n)*arcsin(0,6)+π*n/2, где n∈Z.

Answer 2

Дано уравнение: 2cos^2(x) + 2sin(2x) = 3.

Начнем с упрощения уравнения: 2cos^2(x) + 2sin(2x) = 3 2cos^2(x) + 4sin(x)cos(x) = 3 2cos^2(x) + 2sin(x)cos(x) + 2sin(x)cos(x) = 3 cos^2(x) + sin(x)cos(x) + sin(x)cos(x) = 3/2 cos^2(x) + 2sin(x)cos(x) = 3/2

Теперь воспользуемся тригонометрическими тождествами: cos^2(x) = 1 - sin^2(x) 2sin(x)cos(x) = sin(2x)

Подставим эти значения в уравнение: 1 - sin^2(x) + sin(2x) = 3/2

Упростим выражение: -sin^2(x) + sin(2x) = 1/2

Теперь приведем подобные слагаемые: 2sin(x)cos(x) - sin^2(x) = 1/2

Подставим sin(x)cos(x) = 1/2sin(2x): 2(1/2sin(2x)) - sin^2(x) = 1/2 sin(2x) - sin^2(x) = 1/2

Домножим выражение на 2, чтобы избавиться от дроби: 2sin(2x) - 2sin^2(x) = 1

Перепишем sin(2x) через sin(x) и cos(x): 2(2sin(x)cos(x)) - 2sin^2(x) = 1 4sin(x)cos(x) - 2sin^2(x) = 1

Заменим cos^2(x) на 1 - sin^2(x): 4sin(x)(1 - sin^2(x)) - 2sin^2(x) = 1 4sin(x) - 4sin^3(x) - 2sin^2(x) = 1

Объединим члены синусов: 4sin(x) - 4sin^3(x) - 2sin^2(x) - 1 = 0

Перепишем уравнение в виде кубического полинома: 4sin(x) - 4sin^3(x) - 2sin^2(x) - 1 = 0 -4sin^3(x) - 2sin^2(x) + 4sin(x) - 1 = 0

Далее решение данного уравнения можно найти численными методами либо графически.