Question

1+1/2+1/4+...+1/2n<2 помогите решить

Answer 1

1/2+…+1/2^n=A

1+1/2+…+1/2^n?2 | :2

1/2+1/4+…+1/2^n?1

A+1/2^(n+1)?1 (2)

Вычтем «2» из начального не-рва:

1+A-(A+1/2^(n+1))?2-1

1-1/2^(n+1)?1

-1/2^(n+1)<0

Answer 2

Данная сумма является бесконечно убывающей геометрической прогрессией с первым членом 1 и знаменателем 2. Формула для суммы такой прогрессии имеет вид:

Sn = a * (1 - q^n) / (1 - q)

где Sn - сумма n-го члена, a - первый член прогрессии, q - знаменатель прогрессии.

В данном случае a = 1 и q = 1/2.

Подставим значения в формулу и решим неравенство: 1 * (1 - (1/2)^n) / (1 - 1/2) < 2

Перенесем знаменатель влево и упростим: 2(1 - (1/2)^n) < 1

Упростим дальше: 2 - (1/2)^n < 1

Вычтем 1 из обеих частей: 1 - (1/2)^n < 0

Теперь решим неравенство: (1/2)^n > 1

Заметим, что (1/2)^n будет стремиться к 0 при росте n. Поэтому для любого натурального n (1/2)^n будет меньше 1. Таким образом, данное неравенство не имеет решения.

Таким образом, неравенство 1 + 1/2 + 1/4 + ... + 1/(2n) < 2 не выполняется для любого натурального n.