Question

Иследовать экстремумы и на монотонность у=18х-х³

Answer 1

Hello, For you my friend

Answer 2

Для исследования экстремумов и монотонности функции y = 18x - x³, нужно выполнить следующие шаги:

1. Найдите первую производную функции. 2. Найдите критические точки, где первая производная равна нулю или не существует. 3. Исследуйте знаки первой производной между критическими точками, чтобы определить монотонность функции. 4. Исследуйте вторую производную функции, чтобы определить тип экстремумов.

Давайте начнем с первого шага:

1. Найдем первую производную функции y = 18x - x³. Для этого найдем производную каждого члена по отдельности: y'(x) = d/dx (18x) - d/dx (x³) = 18 - 3x²

2. Найдем критические точки, где y'(x) = 0: 18 - 3x² = 0

Решим это уравнение: 3x² = 18 x² = 6 x = ±√6

Получаем две критические точки: x₁ = √6 и x₂ = -√6.

3. Исследуем знаки первой производной между критическими точками:

- Между x₁ = √6 и x₂ = -√6, значение y'(x) = 18 - 3x² всегда положительно, так как x² неотрицателен. Это означает, что функция возрастает на этом интервале.

4. Теперь исследуем вторую производную функции, чтобы определить тип экстремумов. Для этого найдем вторую производную y''(x):

y''(x) = d²/dx² (18 - 3x²) = -6x

Теперь подставим значения x₁ = √6 и x₂ = -√6 во вторую производную:

y''(√6) = -6√6 < 0 y''(-√6) = 6√6 > 0

Результаты показывают, что у нас есть локальный максимум в точке x₁ = √6 и локальный минимум в точке x₂ = -√6.

Итак, исследование экстремумов и монотонности функции y = 18x - x³ дало следующие результаты: - Функция имеет локальный максимум в точке (√6, 18√6 - 6√6³) и локальный минимум в точке (-√6, 18(-√6) - 6(-√6)³). - Функция монотонно возрастает на интервале (-∞, -√6) и монотонно убывает на интервале (-√6, ∞).