Question

Иследовать функции на монотонность и экстремумы 1)у=x^4-4 ln x2)y=1-3x+5e^x-e^2x3)y=ln 1\x^3+x^2+x+3

Answer 1

Экстремумы-это точки минимума или максимума,а промежутки монотонности-это промежутки возрастания и убывания(отмечены стрелками).

Answer 2

Давайте рассмотрим каждую функцию по отдельности и проанализируем их монотонность и экстремумы.

1. Функция: у = x^4 - 4ln(x)

a) Монотонность: Для анализа монотонности найдем производную функции: у' = 4x^3 - 4/x

Для определения интервалов монотонности приравняем производную к нулю и найдем ее значения: 4x^3 - 4/x = 0 4x^4 - 4 = 0 x^4 - 1 = 0 (x^2 - 1)(x^2 + 1) = 0 x = ±1

Построим таблицу знаков: -∞ -1 0 1 +∞

• markdownCopy code
    +    -    +     +
  

Из таблицы видно, что функция убывает на интервалах (-∞, -1) и (0, 1), и возрастает на интервалах (-1, 0) и (1, +∞). Таким образом, функция убывает на промежутках (-∞, -1) и (0, 1), и возрастает на промежутках (-1, 0) и (1, +∞).

b) Экстремумы: Для определения экстремумов найдем вторую производную функции: у'' = 12x^2 + 4/x^2

Вычислим значения второй производной в критических точках: у''(-1) = 12(-1)^2 + 4/(-1)^2 = 16 > 0 у''(1) = 12(1)^2 + 4/(1)^2 = 16 > 0

Из результатов видно, что вторая производная положительна в критических точках x = -1 и x = 1. Это означает, что функция имеет минимумы в этих точках.

2. Функция: у = 1 - 3x + 5e^x - e^(2x)

a) Монотонность: Для анализа монотонности найдем производную функции: у' = -3 + 5e^x - 2e^(2x)

Уравняем производную к нулю и найдем ее значения: -3 + 5e^x - 2e^(2x) = 0

Для этой функции не существует аналитического решения для равенства уравнения производной нулю. Можно воспользоваться численными методами, такими как метод Ньютона, чтобы найти приближенные значения точек экстремума и интервалов монотонности.

b) Экстремумы: Аналогично к пункту а), для определения экстремумов необходимо