Question

1. y²+8y+20>02. x²+y²≥6(x-y)-20 доведіть нерівності​

Answer 1

Ответ:

Решение:

x²+y²- 4x - 8y+20=0

x²+y²- 4x - 8y+ 4 + 16 =0

(х² - 4х + 4) + (у² - 8у + 16) = 0

(х - 2)² + (у - 4)² = 0

Сумма квадратов двух выражений равна нулю лишь в том случае, когда они равны нулю одновременно, т.е.

(2; 4) - решение данного уравнения.

Ответ: (2; 4)

Проверка:

2²+4²- 4·2 - 8·4 +20=0

40 - 40 = 0

0 = 0 - верно

Answer 2

Давайте розглянемо нерівності по черзі та доведемо їх:

1. y² + 8y + 20 > 0: Щоб довести цю нерівність, спробуємо розкласти ліву частину на множники. Знайдемо такі числа a та b, що: a * b = 20 (коефіцієнт при y²) a + b = 8 (коефіцієнт при y) Знайдемо числа a та b, які задовольняють ці умови. Зрозуміло, що a = 4 та b = 5. Тоді можемо переписати нерівність у такому вигляді: (y + 4)(y + 5) > 0 Тепер розглянемо знаки добутку (y + 4) та (y + 5). Ці числа будуть мають однаковий знак, якщо або обидва числа додатні, або обидва числа від'ємні. В іншому випадку, коли одне з чисел додатнє, а інше від'ємне, добуток буде від'ємним. Таким чином, ми отримуємо два випадки: 1.1. (y + 4) > 0 і (y + 5) > 0: Розв'язок цього випадку: y > -4 і y > -5. Тобто y > -4. 1.2. (y + 4) < 0 і (y + 5) < 0: Розв'язок цього випадку: y < -4 і y < -5. Тобто y < -5. Отже, розв'язок нерівності y² + 8y + 20 > 0 буде: y < -5 або y > -4.

2. x² + y² ≥ 6(x - y) - 20: Для доведення цієї нерівності розглянемо обидві сторони окремо. Почнемо з правої сторони: 6(x - y) - 20. Розкриємо дужки: 6x - 6y - 20. Тепер ми маємо нерівність x² + y² ≥ 6x - 6y - 20. Перенесемо всі члени в одну сторону: x² - 6x + y² + 6y ≥ -20. Завершимо квадратичну частину нерівності шляхом додавання 9 до обох сторін: x² - 6x + 9 + y² + 6y + 9 ≥ -20 + 9 + 9. Тепер ми можемо переписати нерівність у такому вигляді: (x - 3)² + (y + 3)² ≥ -2. Так як квадрати будь-якого числа є невід'ємними, то (x - 3)² ≥ 0 та (y + 3)² ≥ 0. Отже, ми отримуємо нерівність (x - 3)² + (y + 3)² ≥ 0. Це нерівність буде виконуватися для будь-яких значень x та y. Таким чином, нерівність x² + y² ≥ 6(x - y) - 20 буде виконуватися для будь-яких значень x та y.

Отже, ми довели обидві нерівності. Нерівність для y² + 8y + 20 > 0 має розв'язок y < -5 або y > -4, а нерівність для x² + y² ≥ 6(x - y) - 20 виконується для будь-яких значень x та y.