Question

\3.15. Решите способом алгебраического сложения систему уравнений: 2){х²+ху-6у²=0 х²-5 xy + 2у² + 4 = 0; ​

Answer 1

$\left \{ {{x^{2} +xy-6y^2=0} \atop {x^{2} -5xy+2y^2+4=0}} \right.$

$\left \{ {{x^{2} +xy-6y^2=0|*(-1)} \atop {x^{2} -5xy+2y^2+4=0}} \right.$

$\left \{ {{-x^{2} -xy+6y^2=0} \atop {x^{2} -5xy+2y^2+4=0}} \right.$

Сложим эти уравнения:

$-x^{2} -xy+6y^2+{x^{2} -5xy+2y^2+4=0$

$8y^2 -6xy+4=0$

$4y^2 -3xy+2=0$

$3xy=4y^2 +2$

$x=\frac{4y^2+2}{3y}$

Подставим в первое уравнение:

$(\frac{4y^2+2}{3y})^2+\frac{4y^2+2}{3y}*y-6y^2=0$

$\frac{16y^4+16y^2+4}{9y^2}+\frac{4y^2+2}{3}-6y^2=0$

$\frac{16y^4+16y^2+4+(4y^2+2)*3y^2-6y^2*9y^2}{9y^2}=0$

$\frac{16y^4+16y^2+4+12y^4+6y^2-54y^4}{9y^2}=0$

$\frac{-26y^4+22y^2+4}{9y^2}=0$

$\left \{ {{-26y^4+22y^2+4=0} \atop {y\neq 0}} \right.$

$-26y^4+22y^2+4=0$

$13y^4-11y^2-2=0$

Замена:

$y^{2}= t$    (ОДЗ:   $t>0$)

$13t^2-11t-2=0$

$D=121-4*13*(-2)=225=15^2$

$t_1=\frac{11-15}{26}=-\frac{4}{26}$  не удовлетворяет ОДЗ.

$t_2=\frac{11+15}{26}=\frac{26}{26}=1>0$   удовлетворяет ОДЗ.

Обратная замена:

$y^{2} =1$

$y=б\sqrt{1} =б1$

$y_1=-1;$         $y_2=1$

Подставим в $x=\frac{4y^2+2}{3y}$  и найдём $x$

при   $y_1=-1$   =>       $x_1=\frac{4*(-1)^2+2}{3*(-1)}=\frac{4+2}{-3}=-2$

                                   $x_1=-2$

при   $y_2=1$     =>      $x_2=\frac{4*1^2+2}{3*1}=\frac{4+2}{3}=2$

                                   $x_2=2$

Ответ:   $(-2;-1);$   $(2;1)$

Answer 2

Для решения системы уравнений алгебраическим методом сложения, давайте обозначим уравнения системы:

1. $x^2 + xy - 6y^2 = 0$
2. $x^2 - 5xy + 2y^2 + 4 = 0$

Сначала приведем уравнения к стандартному виду квадратного трёхчлена, чтобы упростить дальнейшие шаги. Затем используем метод сложения уравнений.

Уравнение 1: $x^2 + xy - 6y^2 = 0$

Уравнение 2: $x^2 - 5xy + 2y^2 + 4 = 0$

Теперь преобразим уравнение 2, добавив и вычитая 6xy (коэффициент перед xy в уравнении 1):

$x^2 - 5xy + 2y^2 + 4 + 6xy - 6xy = 0$

Сгруппируем члены:

$(x^2 - 5xy + 6xy + 2y^2) + 4 - 6xy = 0$

$(x^2 + xy + 2y^2) - 6xy + 4 = 0$

Теперь у нас есть уравнение 1 и преобразованное уравнение 2:

1. $x^2 + xy - 6y^2 = 0$
2. $(x^2 + xy + 2y^2) - 6xy + 4 = 0$

Теперь сложим оба уравнения:

$(x^2 + xy - 6y^2) + ((x^2 + xy + 2y^2) - 6xy + 4) = 0$

$2x^2 + 2xy - 4y^2 + 4 = 0$

Разделим уравнение на 2:

$x^2 + xy - 2y^2 + 2 = 0$

Таким образом, у нас получается уравнение:

$x^2 + xy - 2y^2 + 2 = 0$

Это уравнение представляет собой гиперболу второго порядка.