Question

Точка належить осі ординат. Знайдіть координати цієї точки якщо сума відстаней від неї до точок А(1; 2) і В(2; 1) є найменшою

Answer 1

Ответ:C(0;(5/3))

Объяснение:чимметрично отобразим точку В относительно Оу. получим точку В1.кратчайшее расстояние между точками А и В1 равно заданному по условию наименьшему расстоянию. поставим точку D(1;1). видим прямоугольный треугольник В1АD. АD параллеьна Оу. пусть В1D пересекает Оу в точке Q, а АВ1 - в точке C. В1Q/B1D=QC/AD=>QC=2/3=> C(0; 5/3 ).

Answer 2

Щоб знайти координати точки, яка належить осі ординат і віддалена від точок А(1; 2) і В(2; 1) на найменшу відстань, використаємо властивість про симетрію.

Спочатку, обчислимо відстані від кожної точки (x, y) на осі ординат до точок А(1; 2) і В(2; 1):

Відстань від (x, y) до А(1; 2) = √((x - 1)² + (y - 2)²) Відстань від (x, y) до В(2; 1) = √((x - 2)² + (y - 1)²)

Тепер, використовуючи властивість про симетрію, знаходимо точку на осі ординат з координатами (x, y), для якої сума відстаней до точок А і В є найменшою:

Сума відстаней = √((x - 1)² + (y - 2)²) + √((x - 2)² + (y - 1)²)

Щоб знайти мінімум суми відстаней, треба знайти точку, де частка першого доданку до загальної суми рівна частці другого доданку. Тобто,

√((x - 1)² + (y - 2)²) / (√((x - 1)² + (y - 2)²) + √((x - 2)² + (y - 1)²)) = √((x - 2)² + (y - 1)²) / (√((x - 1)² + (y - 2)²) + √((x - 2)² + (y - 1)²))

Спростивши це рівняння, ми отримуємо:

√((x - 1)² + (y - 2)²) = √((x - 2)² + (y - 1)²)

Підносячи обидві частини рівняння до квадрату, ми отримаємо:

(x - 1)² + (y - 2)² = (x - 2)² + (y - 1)²

Після розкриття скобок і спрощення, ми отримаємо:

x² - 2x + 1 + y² - 4y + 4 = x² - 4x + 4 + y² - 2y + 1

Зведення подібних доданків дасть:

-2x - 4y + 5 = - 4x - 2y + 5

Розкриваючи скобки і групуючи змінні x та y, ми отримаємо:

2x - 4y + 4x - 2y = 0

Зведення подібних доданків дозволяє нам отримати:

6x - 6y = 0

Ділить обидві частини на 6, отримаємо:

x - y = 0

Звідси x = y. Таким чином, точка належить прямій x = y.