Question

Решить неравенства: 1. 2х2 + 4х + 8 >0 2. - х2 + 3х — 6 <0 3. - 5х 2 + 4х - 4 >0 4. 7х 2 - 6х +2 <0

Answer 1

Ответ:

4) 7х2-6х+2<0

14х-6х+2<0

8х+2<0

8х<-2

х<-1/4 (1.4 это дробь).

Answer 2

Давайте решим каждое неравенство поочередно:

1. \(2x^2 + 4x + 8 > 0\)

Для начала, давайте найдем корни квадратного уравнения \(2x^2 + 4x + 8 = 0\). Это можно сделать, используя формулу для корней квадратного уравнения: \(x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\), где у нас есть уравнение вида \(ax^2 + bx + c = 0\).

В данном случае: - \(a = 2\), - \(b = 4\), - \(c = 8\).

Таким образом, корни \(x\) будут:

\[x = \frac{-4 \pm \sqrt{4^2 - 4(2)(8)}}{2(2)} = \frac{-4 \pm \sqrt{-32}}{4}.\]

Поскольку у нас под корнем отрицательное число, у уравнения нет вещественных корней. Таким образом, оно никогда не равно нулю.

Теперь давайте посмотрим на знак выражения \(2x^2 + 4x + 8\). Поскольку у коэффициента \(a\) (в данном случае \(2\)) знак положительный, это квадратное уравнение открывается вверх, и вся функция положительна (всегда выше оси X). Таким образом, ответ на это неравенство:

\[2x^2 + 4x + 8 > 0 \quad \text{для всех значений } x.\]

2. \(-x^2 + 3x - 6 < 0\)

Давайте снова найдем корни уравнения \(-x^2 + 3x - 6 = 0\), используя формулу квадратного корня:

\[x = \frac{-3 \pm \sqrt{3^2 - 4(-1)(-6)}}{2(-1)} = \frac{-3 \pm \sqrt{9 - 24}}{-2}.\]

Теперь у нас получаются два корня:

\[x = \frac{-3 \pm \sqrt{-15}}{-2}.\]

Поскольку у нас под корнем отрицательное число, у уравнения нет вещественных корней. Таким образом, оно никогда не равно нулю.

Теперь посмотрим на знак выражения \(-x^2 + 3x - 6\). Заметим, что у коэффициента \(a\) (в данном случае \(-1\)) знак отрицательный, и, следовательно, парабола открывается вниз. Это означает, что функция положительна внутри корней и отрицательна вне их.

Таким образом, ответ на это неравенство:

\(-x^2 + 3x - 6 < 0 \quad \text{для } \frac{-3 - \sqrt{-15}}{-2} < x < \frac{-3 + \sqrt{-15}}{-2}.\)

3. \(-5x + 2 + 4x - 4 > 0\)

Объединим подобные члены:

\(-x - 2 > 0\)

Теперь умножим обе части на -1, чтобы изменить знак:

\[x + 2 < 0.\]

Таким образом, ответ на это неравенство:

\[x + 2 < 0 \quad \text{для } x < -2.\]

4. \(7x^2 - 6x + 2 < 0\)

Давайте снова найдем корни уравнения \(7x^2 - 6x + 2 = 0\), используя формулу квадратного корня:

\[x = \frac{6 \pm \sqrt{(-6)^2 - 4(7)(2)}}{2(7)} = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 56}}{14}.\]

Теперь у нас получаются два корня:

\[x = \frac{6 \pm \sqrt{-20}}{14}.\]

Поскольку у нас под корнем отрицательное число, у уравнения нет вещественных корней. Таким образом, оно никогда не равно нулю.

Теперь посмотрим на знак выражения \(7x^2 - 6x + 2\). Заметим, что у коэффициента \(a\) (в данном случае \(7\)) знак положительный, и, следовательно, парабола открывается вверх. Это означает, что функция положительна вне корней и отрицательна между корнями.

Таким образом, ответ на это неравенство:

\[7x^2 - 6x + 2 < 0 \quad \text{для } \frac{6 - \sqrt{-20}}{14} < x < \frac{6 + \sqrt{-20}}{14}.\]