Question

Y=cos^2x/sinx^2 Производная

Answer 1

Ответ:

Ответ

Объяснение:

Answer 2

Давайте найдем производную выражения \( y = \frac{\cos^2(x)}{\sin^2(x)} \).

Для удобства давайте представим \( y \) в виде отдельных функций:

\[ u = \cos^2(x) \] \[ v = \sin^2(x) \]

Тогда \( y = \frac{u}{v} \).

Теперь применим правило деления для нахождения производной:

\[ y' = \frac{u'v - uv'}{v^2} \]

где \( u' \) и \( v' \) - производные функций \( u \) и \( v \) соответственно.

1. Найдем производную \( u \):

\[ u = \cos^2(x) \]

Применим цепное правило:

\[ u' = 2\cos(x)(-\sin(x)) = -2\cos(x)\sin(x) \]

2. Найдем производную \( v \):

\[ v = \sin^2(x) \]

Применим цепное правило:

\[ v' = 2\sin(x)\cos(x) \]

Теперь подставим все в формулу для \( y' \):

\[ y' = \frac{(-2\cos(x)\sin(x))(\sin^2(x)) - (\cos^2(x))(2\sin(x)\cos(x))}{\sin^4(x)} \]

Упростим числитель:

\[ y' = \frac{-2\cos(x)\sin^3(x) - 2\cos^3(x)\sin(x)}{\sin^4(x)} \]

Теперь можем упростить дробь, поделив числитель и знаменатель на \( \sin(x) \):

\[ y' = \frac{-2\sin^2(x) - 2\cos^2(x)}{\sin^3(x)} \]

Также мы можем использовать тригонометрическую тождественность \( \sin^2(x) + \cos^2(x) = 1 \):

\[ y' = \frac{-2(1)}{\sin^3(x)} = -\frac{2}{\sin^3(x)} \]

Таким образом, производная выражения \( y = \frac{\cos^2(x)}{\sin^2(x)} \) равна \( -\frac{2}{\sin^3(x)} \).