Question

В параллелограмме abcd биссектрисы углов a и d пересекают прямую bc в точках k и e соответственно. Найдите длину отрезка ke , если ab=18 , ad=14 .

Answer 1

Ответ:

x=4

Объяснение:

1)

ab=bk

18= 14+х

ab=bc+kc, следственно:

kc=4

2)

dc=ce

dc=cb+be

18=14+х

х=4

Answer 2

Для решения этой задачи нам нужно использовать свойство биссектрисы в параллелограмме. Согласно этому свойству, биссектриса угла параллелограмма делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные двум соседним сторонам.

Пусть \( AK \) и \( DE \) - биссектрисы углов \( A \) и \( D \) соответственно, пересекающие прямую \( BC \) в точках \( K \) и \( E \).

Из свойства биссектрисы получаем:

\[ \frac{BK}{KC} = \frac{AB}{AD} \quad \text{(1)} \]

\[ \frac{CE}{EB} = \frac{AD}{AB} \quad \text{(2)} \]

Теперь у нас есть два уравнения с двумя неизвестными: \( BK \), \( KC \), \( CE \), \( EB \). Мы также знаем, что \( BK + KC = BC \) и \( CE + EB = BC \). Мы можем использовать эти уравнения, чтобы выразить все переменные в терминах \( BK \) и \( CE \).

Давайте решим систему уравнений. Сначала умножим оба уравнения на соответствующие знаменатели, чтобы избавиться от дробей:

Из уравнения (1):

\[ AB \cdot KC = AD \cdot BK \quad \text{(3)} \]

Из уравнения (2):

\[ AD \cdot EB = AB \cdot CE \quad \text{(4)} \]

Теперь сложим уравнения (3) и (4):

\[ AB \cdot KC + AD \cdot EB = AD \cdot BK + AB \cdot CE \]

Упростим:

\[ AB \cdot (KC + EB) = AD \cdot (BK + CE) \]

Теперь мы можем выразить \( BK + CE \) через известные величины:

\[ BK + CE = \frac{AB}{AD} \cdot KC + \frac{AD}{AB} \cdot EB \]

Теперь подставим значения \( BK + CE \) в уравнения \( BK + KC = BC \) и \( CE + EB = BC \):

\[ \frac{AB}{AD} \cdot KC + \frac{AD}{AB} \cdot EB + KC = BC \]

\[ \frac{AB}{AD} \cdot KC + \frac{AD}{AB} \cdot EB + EB = BC \]

Упростим:

\[ \frac{AB}{AD} \cdot KC + \frac{AD}{AB} \cdot EB = BC - KC \quad \text{(5)} \]

Теперь у нас есть уравнение, в котором присутствует только одна неизвестная величина \( KC \). Мы также знаем, что \( BC = BK + KC \). Подставим это в уравнение (5):

\[ \frac{AB}{AD} \cdot KC + \frac{AD}{AB} \cdot EB = BK + KC - KC \]

Упростим:

\[ \frac{AB}{AD} \cdot KC + \frac{AD}{AB} \cdot EB = BK \]

Теперь у нас есть выражение для \( BK \), и мы можем подставить его в уравнение (1):

\[ \frac{BK}{KC} = \frac{AB}{AD} \]

\[ \frac{\left(\frac{AB}{AD} \cdot KC + \frac{AD}{AB} \cdot EB\right)}{KC} = \frac{AB}{AD} \]

\[ \frac{AB}{AD} + \frac{EB}{KC} = \frac{AB}{AD} \]

\[ \frac{EB}{KC} = 0 \]

Отсюда следует, что \( EB = 0 \). Это означает, что точки \( E \) и \( B \) совпадают. Теперь мы можем найти отрезок \( KE \), который равен \( KB \):

\[ KE = KB = BK \]

Теперь мы можем использовать уравнение (3), чтобы найти \( BK \):

\[ AB \cdot KC = AD \cdot BK \]

\[ BK = \frac{AB \cdot KC}{AD} \]

Теперь подставим известные значения:

\[ BK = \frac{18 \cdot KC}{14} \]

Теперь мы можем выразить \( KC \) через \( BK \):

\[ KC = \frac{14 \cdot BK}{18} \]

Теперь подставим \( KC \) в уравнение (5):

\[ \frac{AB}{AD} \cdot \frac{14 \cdot BK}{18} + \frac{AD}{AB} \cdot 0 = BK \]

Упростим:

\[ \frac{14 \cdot BK}{18} = BK \]

Умножим обе стороны на 18:

\[ 14 \cdot BK = 18 \cdot BK \]

Выразим \( BK \):

\[ 4 \cdot BK = 0 \]

Отсюда получаем \( BK = 0 \). Таким образом, отрезок \( KE \) равен 0.