Question

Найдите множество точек координатной плоскости, которое задано системой неравенств: y≥x^2-4(x+1)^2+(y+2)^2≤4​

Answer 1

строю параболу y=x^2-4

x0=-b/(2a)=0

y0=y(x0)=y(0)=-4

(0;-4)-вершина параболы

y(-2)=(-2)^2-4=0

y(2)=2^2-4=0

нули функции у (-2;0);(2;0)

решением неравенства y≥x^2-4 будет внутренняя область параболы, включая саму параболу

(x+1)^2+(x+2)^2=4-уравнение окружности с центром (-1;-2) и радиуса 2

решением неравенства (x+1)^2+(y+2)^2≤4 будет сама окружность и вся ее внутренняя область

решением системы будет пересечение областей параболы с ее внутренней областью и окружности с его внутренней областью

Ответом будет область, где двойная штриховка-представлена на рисунке

Answer 2

Для решения данной системы неравенств нам потребуется некоторый аналитический подход. Давайте рассмотрим каждое неравенство отдельно и проанализируем его.

Неравенство (1): y ≥ x^2 - 4(x+1)^2 + (y+2)^2 Неравенство (2): (y+2)^2 ≤ 4

Решение неравенства (2)

Начнем с неравенства (2): (y+2)^2 ≤ 4 Чтобы решить это неравенство, мы можем взять квадратный корень от обеих сторон: √((y+2)^2) ≤ √4 y+2 ≤ 2 или y+2 ≥ -2 y ≤ 0 или y ≥ -4

Таким образом, неравенство (2) дает нам два условия: 1. y ≤ 0 2. y ≥ -4

Решение неравенства (1)

Теперь рассмотрим неравенство (1): y ≥ x^2 - 4(x+1)^2 + (y+2)^2 Для начала, упростим это неравенство, раскрыв скобки: y ≥ x^2 - 4(x^2 + 2x + 1) + (y^2 + 4y + 4) y ≥ x^2 - 4x^2 - 8x - 4 + y^2 + 4y + 4 y ≥ -3x^2 - 8x + y^2 + 4y

Теперь перенесем все члены в левую часть неравенства, чтобы получить квадратичную функцию: 3x^2 + 8x + y^2 + 4y - y ≥ 0

Мы можем проанализировать эту квадратичную функцию, чтобы определить ее форму и определить множество точек, удовлетворяющих неравенству.

Анализ квадратичной функции

1. Сначала посмотрим на коэффициент при x^2. В нашем случае это положительное число 3. Это означает, что график функции будет направлен вверх. 2. Затем посмотрим на дискриминант D = b^2 - 4ac, где a = 3, b = 8 и c = y^2 + 4y - y. Дискриминант определяет, сколько корней имеет квадратное уравнение и какие они. Если D > 0, то уравнение имеет два различных вещественных корня. Если D = 0, то уравнение имеет один вещественный корень. Если D < 0, то уравнение не имеет вещественных корней. 3. Затем можно проанализировать вершину параболы, используя формулу -b/2a. В нашем случае это -8/(2*3) = -4/3. Это означает, что вершина параболы будет находиться в точке (-4/3, ...).

Теперь мы можем совместить все эти аналитические результаты для определения множества точек, удовлетворяющих неравенству (1) и (2).