Question

Найди числовой промежуток, которому соответствует неравенство: −63x+42x^2≥−21.

Answer 1

Ответ:

$- 63x + 42 {x}^{2} + 21 \geqslant 0$

$3x - 2{x}^{2} - 1 \leqslant 0$

$- 2 {x}^{2} + 3x - 1 \leqslant 0$

$- 2 {x}^{2} + 2x + x - 1 \leqslant 0$

$(x - 1)( - 2x + 1) \leqslant 0$

$x - 1 \leqslant 0 \\ - 2x + 1 \geqslant 0 \\ \\ x - 1 \geqslant 0 \\ - 2x + 1 \leqslant 0$

Ответ:

(минус бесконечности до 1/2] и [от 1 до плюс бесконечности)

Answer 2

Давайте решим данное неравенство шаг за шагом. У нас есть неравенство:

\[ -63x + 42x^2 \geq -21 \]

1. Сначала приведем все члены к одной стороне неравенства, чтобы получить квадратное уравнение:

\[ 42x^2 - 63x + 21 \geq 0 \]

2. Теперь нам нужно найти корни этого квадратного уравнения. Мы можем воспользоваться формулой дискриминанта:

\[ D = b^2 - 4ac \]

где у нас есть уравнение вида \(ax^2 + bx + c = 0\). В нашем случае:

\[ a = 42, \quad b = -63, \quad c = 21 \]

\[ D = (-63)^2 - 4(42)(21) \]

3. Рассчитаем дискриминант:

\[ D = 3969 - 3528 = 441 \]

4. Так как дискриминант положителен (\(D > 0\)), у нас есть два действительных корня. Теперь найдем сами корни:

\[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \]

\[ x_{1,2} = \frac{63 \pm \sqrt{441}}{84} \]

\[ x_1 = \frac{63 + 21}{84} = \frac{84}{84} = 1 \]

\[ x_2 = \frac{63 - 21}{84} = \frac{42}{84} = \frac{1}{2} \]

5. Теперь определим знак выражения \(42x^2 - 63x + 21\) на каждом из интервалов, образованных корнями. Для этого выберем тестовую точку в каждом интервале и подставим ее в уравнение. Например:

- Пусть \( x < \frac{1}{2} \), возьмем \( x = 0 \). Подставим в уравнение: \[ 42(0)^2 - 63(0) + 21 = 21 \] Знак положителен. - Пусть \( \frac{1}{2} < x < 1 \), возьмем \( x = \frac{3}{4} \). Подставим в уравнение: \[ 42\left(\frac{3}{4}\right)^2 - 63\left(\frac{3}{4}\right) + 21 = 0 \] Знак равен 0. - Пусть \( x > 1 \), возьмем \( x = 2 \). Подставим в уравнение: \[ 42(2)^2 - 63(2) + 21 = 21 \] Знак положителен.

Таким образом, неравенство \(42x^2 - 63x + 21 \geq 0\) выполняется для \(x \leq \frac{1}{2}\) и \(x \geq 1\). Получаем числовой промежуток:

\[ x \in \left(-\infty, \frac{1}{2}\right] \cup [1, +\infty) \]