Question

Вначале на экране калькулятора горело натуральное число. Каждый раз Вера добавляла к текущему числу n на экране калькулятора натуральное число, на которое n не делилось. Например, если на экране было число 10, Вера могла добавить 7 и получить 17. Вера повторила такую операцию пять раз, и на экране оказалось число 170. При каком наибольшем начальном числе такое могло случиться?

Answer 1

Ответ:

155

Объяснение:

3 - минимальное число, которое можно отнимать от 170 5 раз, чтобы ни одно из слагаемых не делилось на 3

Answer 2

Ответ:

155

Объяснение:

Очень долгим методом подбора мы получили, что 3 - минимальное число, которое можно отнимать от 170 5 раз, чтобы ни одно из слагаемых не делилось на 3

Answer 3

Пусть \(x\) - начальное число, с которого начинает Вера. Тогда первое число, которое она добавляет, это \(x + n_1\), где \(n_1\) - первое натуральное число, на которое \(x\) не делится. Второе число, которое она добавляет, это \((x + n_1) + n_2\), где \(n_2\) - первое натуральное число, на которое \((x + n_1)\) не делится, и так далее.

После пяти таких операций у нас будет следующая сумма:

\[ x + n_1 + (x + n_1 + n_2) + \ldots + (x + n_1 + n_2 + n_3 + n_4 + n_5) = 170 \]

Мы знаем, что каждое добавляемое число должно быть таким, что оно не делится на предыдущие числа. Таким образом, каждое \(n_i\) должно быть наименьшим натуральным числом, на которое не делится предыдущая сумма. Поэтому \(n_1\) - наименьшее число, на которое не делится \(x\), \(n_2\) - наименьшее число, на которое не делится \(x + n_1\), и так далее.

Теперь давайте рассмотрим случай, когда \(x\) - наименьшее начальное число, при котором такая сумма возможна. Это означает, что \(n_1\) - наименьшее число, на которое не делится \(x\), \(n_2\) - наименьшее число, на которое не делится \(x + n_1\), и так далее.

Таким образом, мы ищем минимальное значение \(x\), при котором \(x, x + n_1, x + n_1 + n_2, \ldots\) не делятся на \(n_1, n_2, n_3, n_4, n_5\). Давайте рассмотрим, какие значения могут принимать \(n_1, n_2, n_3, n_4, n_5\). Все они должны быть различными и не могут быть делителями предыдущих чисел.

Таким образом, \(n_1\) не может делиться на \(x\), \(n_2\) не может делиться на \(x\) или \(x + n_1\), \(n_3\) не может делиться на \(x\), \(x + n_1\), или \(x + n_1 + n_2\), и так далее.

Получается, что мы ищем наименьшее начальное число \(x\), при котором все пять чисел \(x, x + n_1, x + n_1 + n_2, x + n_1 + n_2 + n_3, x + n_1 + n_2 + n_3 + n_4 + n_5\) - это пять последовательных чисел, не имеющих общих делителей.

Для нахождения такого \(x\) давайте воспользуемся китайской теоремой об остатках. Поскольку каждое \(n_i\) выбирается как наименьшее число, не делящее предыдущие, они все будут взаимно простыми.

Таким образом, задача сводится к нахождению минимального числа \(x\), которое является началом последовательности из пяти взаимно простых чисел. Такие последовательности можно найти, начиная с \(x = 1\):

1. \(x = 1\), \(x + 1 = 2\), \(x + 1 + 3 = 4\), \(x + 1 + 3 + 5 = 9\), \(x + 1 + 3 + 5 + 7 = 16\). 2. \(x = 2\), \(x + 1 = 3\), \(x + 1 + 3 = 6\), \(x + 1 + 3 + 5 = 11\), \(x + 1 + 3 + 5 + 7 = 18\). 3. \(x = 3\), \(x + 1 = 4\), \(x + 1 + 3 = 7\), \(x + 1 + 3 + 5 = 13\), \(x + 1 + 3 + 5 + 7 = 20\).

И так далее. Минимальное начальное число \(x\), при котором сумма равна 170, - это 16. Таким образом, наибольшее начальное число, при котором Вера может получить на экране калькулятора число 170, равно \(16 - 5 = 11\).