Question

Складіть рівняння дотичної до графіка функції y=2x³-x²+1 в точці х0=1

Answer 1

Ответ:

$\boxed{y = 4x - 2}$

Объяснение:

y = 2x³- x² + 1

Пусть y =  f(x), тогда $f(x) = 2x^{3} - x^{2} + 1;x_{0} =1$

$f'(x) = (2x^{3} - x^{2} + 1)' = (2x^{3})' - (x^{2} )' + (1)' = 6x^{2} - 2x$

$f'(x_{0}) = f'(1) = 6 \cdot 1^{2} - 2 \cdot 1 = 6 - 2 = 4$

$f(x_{0}) = f(1)= 2 \cdot 1^{3} - 1^{2} + 1 = 2 - 1 + 1 = 2$

Уравнение касательной в общем виде в точке $x_{0}:$

$y = f'(x_{0})(x - x_{0}) + f(x_{0})$

$y = 4(x - 1) + 2 = 4x - 4 + 2 = 4x -2$

Answer 2

Щоб скласти рівняння дотичної до графіка функції y = 2x³ - x² + 1 в точці x₀ = 1, спочатку знайдемо значення похідної в цій точці.

Для цього візьмемо похідну функції y = 2x³ - x² + 1 за правилом диференціювання суми, різниці та добутку функцій:

y' = (2*3x²) - (2x) = 6x² - 2x

Тепер замінимо x у цьому виразі на значення x₀ = 1:

y'(1) = 6(1)² - 2(1) = 6 - 2 = 4

Отримали значення похідної в точці x = 1, яке відповідає нахилу дотичної до графіка функції в цій точці.

Рівняння дотичної до графіка функції y = 2x³ - x² + 1 в точці x₀ = 1 має вигляд:

y - y₀ = m(x - x₀)

де m - нахил дотичної, а (x₀, y₀) - координати точки, в якій проводиться дотична.

Підставляючи значення x₀ = 1, y₀ = 2(1)³ - (1)² + 1 = 2 - 1 + 1 = 2, та m = 4, отримуємо:

y - 2 = 4(x - 1)

Об'єднавши це рівняння, отримуємо кінцевий вигляд рівняння дотичної до графіка функції:

y = 4x - 2