Question

Найдите решение уравнения sin²x-sin2x=3cos²x​

Answer 1

Ответ:

$sin^2x-sin2x=3cos^2x\\\\sin^2x-2sinx\cdot cosx-3cos^2x=0\ \Big|:cos^2x\ne 0\\\\tg^2x-2tgx-3=0\ \ \Rightarrow \ \ \ tgx=-1\ ,\ tgx=3\ \ (teorema\ Vieta)\\\\a)\ \ tgx=-1\ \ ,\ \ x=-\dfrac{\pi}{4}+\pi n\ ,\ n\in Z\\\\b)\ \ tgx=3\ \ ,\ \ x=arctg\, 3+\pi k\ ,\ k\in Z\\\\Otvet:\ \ x=-\dfrac{\pi}{4}+\pi n\ ,\ \ x=arctg\, 3+\pi k\ ,\ n,k\in Z\ .$

Answer 2

Давайте решим данное уравнение шаг за шагом.

Уравнение: \( \sin^2(x) - \sin(2x) = 3\cos^2(x) \)

Используем тригонометрические тождества, чтобы заменить \(\sin(2x)\) и \(\cos^2(x)\):

\(\sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x)\) (формула для удвоенного угла синуса)

\(\cos^2(x) = 1 - \sin^2(x)\) (тождество \(\cos^2(x) + \sin^2(x) = 1\))

Подставим эти выражения в исходное уравнение:

\[ \sin^2(x) - 2\sin(x)\cos(x) = 3(1 - \sin^2(x)) \]

Раскроем скобки и приведем подобные члены:

\[ \sin^2(x) - 2\sin(x)\cos(x) = 3 - 3\sin^2(x) \]

Переносим все члены в левую часть уравнения:

\[ 4\sin^2(x) - 2\sin(x)\cos(x) - 3 = 0 \]

Теперь представим \(\sin(x)\) через \(\cos(x)\) с помощью соотношения \(\sin(x) = \sqrt{1 - \cos^2(x)}\):

\[ 4(1 - \cos^2(x)) - 2\sqrt{1 - \cos^2(x)}\cos(x) - 3 = 0 \]

Обозначим \(\cos(x) = t\), тогда получим квадратное уравнение относительно \(t\):

\[ 4(1 - t^2) - 2\sqrt{1 - t^2}t - 3 = 0 \]

Пусть \(u = \sqrt{1 - t^2}\), тогда уравнение примет вид:

\[ 4u^2 - 2ut - 3 = 0 \]

Решим это квадратное уравнение относительно \(u\):

\[ u = \frac{2t \pm \sqrt{4t^2 + 48}}{8} = \frac{t \pm \sqrt{t^2 + 12}}{4} \]

Теперь вернемся к обозначению \(t = \cos(x)\):

\[ \sqrt{1 - \cos^2(x)} = \frac{\cos(x) \pm \sqrt{\cos^2(x) + 12}}{4} \]

Вспомним, что \( \sin(x) = \sqrt{1 - \cos^2(x)} \) и рассмотрим подкоренное выражение:

\[ \sin(x) = \frac{\cos(x) \pm \sqrt{\cos^2(x) + 12}}{4} \]

Это уравнение содержит как \(\sin(x)\), так и \(\cos(x)\), и решение такого типа уравнения находится сложнее обычных уравнений. Обычно для решения подобных уравнений используются численные методы или графический анализ.

Если нужно найти численные значения \(x\), то можно воспользоваться численными методами, такими как метод Ньютона или метод половинного деления, чтобы найти значения \(x\), удовлетворяющие уравнению.