Question

Доведіть, що при будь-якому натуральному п значення виразу п3 + 11п кратне 6​

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

$n^3+11=n^3-1+1+11=n^3-1+12=\\\\=n(n^2-1)+12=(n-1)n(n+1)+12$

первое слагаемое делится на 6 как произведение трех

последовательных чисел : одно из них четное, другое кратно 3

второе слагаемое 12=2*6  тоже кратно 6

⇒ сумма слагаемых, каждое из которых кратно 6, тоже кратна 6

доказано

Answer 2

Звісно, розглянемо вираз п3 + 11 та спробуємо з'ясувати, чи він кратний 6 при будь-якому значенні натурального числа p.

Кратність числа означає, що число можна розділити на інше число без залишку. Якщо вираз (п3 + 11) кратний 6, це означатиме, що він буде ділитися на 6 без залишку при будь-якому значенні p.

Отже, давайте розглянемо вираз п3 + 11. Якщо ми виразимо його як п3 + 11 = 3p + 11, то нам потрібно перевірити, чи цей вираз буде кратним 6.

Для того щоб п3 + 11 був кратним 6, 3p + 11 повинно бути кратним 6. Розглянемо це за допомогою залишку від ділення на 6:

3p + 11 ≡ 0 (mod 6)

Тут ≡ означає "конгруентне" (модуль), тобто підказує нам про залишок від ділення. Якщо вираз після модуляції дорівнює 0, то це означає, що вираз кратний 6.

Тепер спростимо вираз і подивимось на залишок від ділення:

3p + 11 ≡ 0 (mod 6) 3p ≡ -11 (mod 6) 3p ≡ 1 (mod 6)

Це означає, що 3p при подальших діях має дорівнювати 1 за модулем 6. Але як ми можемо помітити, при будь-якому значенні натурального числа p, вираз 3p не дорівнює 1 за модулем 6. Тому при будь-якому значенні p вираз п3 + 11 не є кратним 6.

Отже, можемо зробити висновок, що при будь-якому значенні натурального числа p вираз п3 + 11 не є кратним 6.