Question

Напишите y наибольшее и у наименьшее на интервале (п/3; 3п/2)функции у=cosx-1

Answer 1

Мы можем рассмотреть функцию $y=\cos x$, а затем просто вычесть единицу.

Итак, представляем себе единичную окружность. В первой получетверти косинус вообще положителен, поэтому задача сводится к поиску на интервале $\left[\dfrac{\pi}{2};\dfrac{3\pi}{2} \right ]$. Но это табличные углы, а наименьшее значение на этом интервале косинус принимает в точке $\cos \pi = -1$ (это базовые знания тригонометрии), а наибольшее в двух точках — $\dfrac{\pi}{3}$ и $\dfrac{3 \pi}{2}$ — ноль.

То есть функция $\cos x$ на этом интервале принимает значения от –1 до нуля. Тогда функция $\cos x-1$ принимает значения от –2 до —1.

Ответ: наибольшее –1, наименьшее –2.

Answer 2

Чтобы найти наибольшее и наименьшее значение функции \(y = \cos(x) - 1\) на интервале \(\left(\frac{\pi}{3}, \frac{3\pi}{2}\right)\), давайте выполним несколько шагов.

1. Найдем критические точки: Критические точки функции находятся там, где производная равна нулю или не существует. Давайте найдем производную функции \(y = \cos(x) - 1\):

\[y' = -\sin(x)\]

Теперь найдем, где \(y' = 0\): \[-\sin(x) = 0\]

Это происходит, когда \(x = k\pi\), где \(k\) - целое число.

Однако, мы ищем критические точки на интервале \(\left(\frac{\pi}{3}, \frac{3\pi}{2}\right)\), поэтому нам интересны только те значения \(k\), которые попадают в этот интервал. Таким образом, \(k\) может быть 1 или 2.

- При \(k = 1\): \(x_1 = \pi\) - При \(k = 2\): \(x_2 = 2\pi\)

Однако только \(x_1 = \pi\) попадает в интервал \(\left(\frac{\pi}{3}, \frac{3\pi}{2}\right)\).

2. Проверим концы интервала: Посмотрим, что происходит на концах интервала \(\left(\frac{\pi}{3}, \frac{3\pi}{2}\right)\), то есть при \(x = \frac{\pi}{3}\) и \(x = \frac{3\pi}{2}\):

- При \(x = \frac{\pi}{3}\): \(y(\frac{\pi}{3}) = \cos(\frac{\pi}{3}) - 1\) - При \(x = \frac{3\pi}{2}\): \(y(\frac{3\pi}{2}) = \cos(\frac{3\pi}{2}) - 1\)

3. Сравним значения: Сравним найденные значения функции в критической точке и на концах интервала:

- \(y(\frac{\pi}{3})\) - \(y(\pi)\) - \(y(\frac{3\pi}{2})\)

Найденное наименьшее значение будет минимумом функции на данном интервале, а наибольшее - максимумом.

Подставим значения и найдем ответ:

1. \(y(\frac{\pi}{3}) = \cos(\frac{\pi}{3}) - 1 = \frac{1}{2} - 1 = -\frac{1}{2} - 1 = -\frac{3}{2}\) 2. \(y(\pi) = \cos(\pi) - 1 = -1 - 1 = -2\) 3. \(y(\frac{3\pi}{2}) = \cos(\frac{3\pi}{2}) - 1 = 0 - 1 = -1\)

Таким образом, наименьшее значение функции на интервале \(\left(\frac{\pi}{3}, \frac{3\pi}{2}\right)\) равно \(-\frac{3}{2}\), оно достигается при \(x = \frac{\pi}{3}\), а наибольшее значение равно \(-1\), оно достигается при \(x = \frac{3\pi}{2}\).