Question

Решить уравнение sin2x+sinxcosx-3cos2x=0

Answer 1

$\sin2x+\sin x\cos x-3\cos2x=0$

$\sin2x+\dfrac{1}{2}\cdot2\sin x\cos x-3\cos2x=0$

$\sin2x+\dfrac{1}{2}\sin2x-3\cos2x=0$

$\dfrac{3}{2}\sin2x-3\cos2x=0$

$\sin2x-2\cos2x=0$

Разделим левую и правую часть уравнения на $\cos2x\neq 0$:

$\mathrm{tg}\,2x-2=0$

$\mathrm{tg}\,2x=2$

$2x=\mathrm{arctg}\,2+\pi n$

$\boxed{x=\dfrac{1}{2} \mathrm{arctg}\,2+\dfrac{\pi n}{2} ,\ n\in\mathbb{Z}}$

Answer 2

Давайте решим уравнение \( \sin(2x) + \sin(x)\cos(x) - 3\cos(2x) = 0 \).

Сначала заметим, что \( \sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x) \) и \( \cos(2x) = 2\cos^2(x) - 1 \).

Заменим \( \sin(2x) \) и \( \cos(2x) \) в уравнении:

\[ 2\sin(x)\cos(x) + \sin(x)\cos(x) - 3(2\cos^2(x) - 1) = 0 \]

Раскроем скобки и приведем подобные члены:

\[ 3\sin(x)\cos(x) - 6\cos^2(x) + 3 = 0 \]

Теперь выразим \( \cos^2(x) \) через \( \sin(x) \) и \( \cos(x) \), используя тождество \(\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1\):

\[ \cos^2(x) = 1 - \sin^2(x) \]

Подставим это выражение в уравнение:

\[ 3\sin(x)\cos(x) - 6(1 - \sin^2(x)) + 3 = 0 \]

Упростим уравнение:

\[ 3\sin(x)\cos(x) - 6 + 6\sin^2(x) + 3 = 0 \] \[ 6\sin^2(x) + 3\sin(x)\cos(x) - 3 = 0 \]

Теперь представим \( 6\sin^2(x) + 3\sin(x)\cos(x) - 3 \) в виде квадратного трехчлена:

\[ 6\sin^2(x) + 3\sin(x)\cos(x) - 3 = 3(2\sin^2(x) + \sin(x)\cos(x) - 1) \]

Заменим \( u = \sin(x) \) и \( v = \cos(x) \), тогда уравнение примет вид:

\[ 3(2u^2 + uv - 1) = 0 \]

Это квадратное уравнение относительно \( u \). Решим его, принимая во внимание, что \( \sin(x) = u \) и \( \cos(x) = v \):

\[ 2u^2 + uv - 1 = 0 \]

Решим это уравнение. Для этого выразим \( v \) через \( u \):

\[ v = \frac{1 - 2u^2}{u} \]

Теперь мы имеем систему уравнений:

\[ \begin{cases} u = \sin(x) \\ v = \frac{1 - 2u^2}{u} \end{cases} \]

Эта система нелинейных уравнений может быть решена методом подстановки или численными методами, такими как метод Ньютона. Полученные значения \( u \) и \( v \) будут представлять собой значения синуса и косинуса угла \( x \). Из них можно будет найти значения угла \( x \).