Question

Используя метод вспомогательного аргумента , решите уравнение корень3 sinx-cosx=2срочно​

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

Метод вспомогательного аргумента

Answer 2

Для решения уравнения \( \sqrt{3} \sin x - \cos x = 2 \) с использованием метода вспомогательного аргумента, давайте сначала выразим синус и косинус через один угловой аргумент.

Обозначим \( \alpha \) как вспомогательный угол. Тогда: \[ \sin x = \sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta \] \[ \cos x = \cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta \]

где \( \beta \) - это вспомогательный угол, который мы выбираем. Для упрощения уравнения обычно выбирают так, чтобы сократить слагаемые.

В данном случае давайте выберем \( \beta = \frac{\pi}{6} \), так как это угол, который соответствует \( \sqrt{3} \) в синусе.

Теперь подставим эти выражения в уравнение: \[ \sqrt{3} \sin x - \cos x = 2 \] \[ \sqrt{3} (\sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta) - (\cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta) = 2 \]

Упростим это уравнение. Помним, что \( \sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2} \), \( \cos \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2} \), а также \( \sin \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2} \) и \( \cos \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2} \).

\[ \sqrt{3} \left(\frac{1}{2} \cos \alpha + \frac{\sqrt{3}}{2} \sin \alpha\right) - \left(\frac{\sqrt{3}}{2} \cos \alpha - \frac{1}{2} \sin \alpha\right) = 2 \]

Раскроем скобки и упростим уравнение: \[ \frac{\sqrt{3}}{2} \cos \alpha + \frac{3}{2} \sin \alpha - \frac{\sqrt{3}}{2} \cos \alpha + \frac{1}{2} \sin \alpha = 2 \]

Теперь объединим подобные члены: \[ \frac{4}{2} \sin \alpha = 2 \]

\[ 2 \sin \alpha = 2 \]

\[ \sin \alpha = 1 \]

Так как \( \sin \alpha = 1 \), угол \( \alpha \) равен \( \frac{\pi}{2} \).

Теперь мы знаем значение угла \( \alpha \), и можем найти \( x \):

\[ x = \alpha + \beta = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{6} = \frac{2\pi}{3} \]

Таким образом, уравнение \( \sqrt{3} \sin x - \cos x = 2 \) имеет решение \( x = \frac{2\pi}{3} \).