Question

!!!!!СРОЧНО!!!!!розвяжіть рівняння х³+х²-х-1=0​

Answer 1

$x^3+x^2-x-1= 0\\x^2(x+1)-(x+1) = 0\\(x+1)(x^2-1) = 0\\x+1 = 0\\x_1 = -1\\\\x^2-1=0\\x^2=1\\x = \pm 1$

Ответ

$x_1 = 1,\quad x_2 = -1$

Answer 2

Х3+х2-х-1=0
х2•(х+1)-(х+1)=0
(х+1)•(х2-1)=0
х+1=0
х-1=0
х=-1
х=1
ответ: х=-1; х=1;

Answer 3

Для розв'язання кубічного рівняння \(x^3 + x^2 - x - 1 = 0\) можна використати різні методи, такі як метод Рафі, метод Кардано або інші. У цьому випадку спробуємо використати метод обчислення раціональних коренів.

Давайте спробуємо знайти раціональні корені цього рівняння шляхом перебору можливих значень за теоремою Раціональних коренів.

Теорема Раціональних коренів стверджує, що всі раціональні корені \(x\) цього рівняння є дробями виду \(\frac{p}{q}\), де \(p\) - ціле число, яке ділить вільний член рівняння (в нашому випадку це -1), а \(q\) - ціле число, яке ділить коефіцієнт при найвищій ступені \(x\) (в нашому випадку 1).

Таким чином, всі можливі раціональні корені цього рівняння будуть у вигляді \(x = \pm 1\), оскільки \(1\) і \(-1\) є можливими дільниками відповідно -1 (вільний член) та 1 (коефіцієнт при \(x^3\)).

Перевіримо значення рівняння при \(x = 1\):

\[ 1^3 + 1^2 - 1 - 1 = 1 + 1 - 1 - 1 = 0 \]

Отже, \(x = 1\) - це один з коренів рівняння.

Тепер, застосуємо метод ділення многочленів на \(x - 1\) для знаходження квадратного рівняння:

\[ (x^3 + x^2 - x - 1) \div (x - 1) \]

Це дає нам \(x^2 + 2x + 1\).

Отже, рівняння може бути записане як:

\[ (x - 1)(x^2 + 2x + 1) = 0 \]

Знаходження коренів квадратного рівняння \(x^2 + 2x + 1 = 0\) дає нам ще один корінь -1, оскільки \((-1)^2 + 2(-1) + 1 = 1 - 2 + 1 = 0\).

Отже, ми отримали два корені \(x = 1\) і \(x = -1\). Тепер розкладемо квадратний множник \(x^2 + 2x + 1\):

\[ x^2 + 2x + 1 = (x + 1)^2 \]

Отже, ми отримали три корені для нашого кубічного рівняння: \(x = 1\), \(x = -1\) (кратний корінь), \(x = -1\) (кратний корінь).

Таким чином, розв'язок кубічного рівняння \(x^3 + x^2 - x - 1 = 0\) це \(x = 1\), \(x = -1\), \(x = -1\).