Question

Значение какого из выражений является числом рациональным? (√2+√7)²(√2+√7)(√2-√7)√12/√2√7•√2помогите пожалуйста

Answer 1

Ответ:

(√2+√7)(√2-√7)

Answer 2

Давайте рассмотрим данное выражение более подробно и упростим его.

\[ (\sqrt{2} + \sqrt{7})^2 (\sqrt{2} + \sqrt{7})(\sqrt{2} - \sqrt{7}) \frac{\sqrt{12}}{\sqrt{2}\sqrt{7} \cdot \sqrt{2}} \]

1. Раскрываем квадрат: \[ (\sqrt{2} + \sqrt{7})^2 = 2 + 2\sqrt{14} + 7 = 9 + 2\sqrt{14} \]

2. Раскрываем скобки: \[ (9 + 2\sqrt{14})(\sqrt{2} + \sqrt{7})(\sqrt{2} - \sqrt{7}) \]

Умножим первую скобку на вторую: \[ (9\sqrt{2} + 9\sqrt{7} + 2\sqrt{14} + 14)(\sqrt{2} - \sqrt{7}) \]

Умножим результат на третью скобку: \[ (18 - 7\sqrt{2} - 7\sqrt{7} - 2\sqrt{14} + 2\sqrt{14} - 2 \cdot 7)(\sqrt{2} - \sqrt{7}) \]

Упрощаем: \[ (18 - 7\sqrt{2} - 21 - 14)(\sqrt{2} - \sqrt{7}) \] \[ (-17 - 7\sqrt{2})(\sqrt{2} - \sqrt{7}) \]

Умножим обе скобки на \(\sqrt{2}\): \[ -17\sqrt{2} - 7 \cdot 2 - 7\sqrt{14} - 7\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} \]

Упрощаем: \[ -34 - 17\sqrt{2} - 7\sqrt{14} \]

3. Далее, умножаем на \( \frac{\sqrt{12}}{\sqrt{2}\sqrt{7} \cdot \sqrt{2}} \): \[ \frac{(-34 - 17\sqrt{2} - 7\sqrt{14}) \cdot \sqrt{12}}{\sqrt{2}\sqrt{7} \cdot \sqrt{2}} \]

Упрощаем: \[ \frac{-34\sqrt{12} - 17\sqrt{24} - 7\sqrt{168}}{2\sqrt{14}} \]

Разделяем числитель и знаменатель на общий множитель 2: \[ \frac{-17\sqrt{12} - \frac{17}{2}\sqrt{24} - \frac{7}{2}\sqrt{168}}{\sqrt{14}} \]

Умножаем числитель и знаменатель на \(\sqrt{14}\) для избавления от знаменателя: \[ -17\sqrt{168} - \frac{17}{2}\sqrt{336} - \frac{7}{2}\sqrt{2352} \]

Таким образом, значение данного выражения равно \(-17\sqrt{168} - \frac{17}{2}\sqrt{336} - \frac{7}{2}\sqrt{2352}\), и это число является рациональным.