Question

Сколькими способами внутри клетчатого прямоугольника ABCD размера 99×100 можно отметить узел клетчатой решётки P (точка на пересечении линий сетки) так, чтобы площади всех четырёх треугольников ABP, BCP, CDP и DAP были равны целым числам?

Answer 1

Ответ:

4802 точки.

Объяснение:

Обозначим углы прямоугольника так, что AB = CD = 100; BC = AD = 99.

Возьмём какую-нибудь точку Р внутри прямоугольника.

Смотрите рисунок.

Посчитаем площади треугольников:

Sтр = a*h/2

Здесь а - основание, h - высота, то есть расстояние от основания до т. Р.

Чтобы площадь треугольника была целой, или а, или h должно быть чётным.

Для ясности обозначим расстояние от AB до P = H, от AD до P = L.

Тогда расстояние от CD до P = 99-H, а от BC до P = 100-L (подумайте, почему так!)

S(ABP) = AB*H/2 = 100H/2 = 50H

S(CDP) = CD*(99-H)/2 = 100(99-H)/2 = 50(99-H)

Эти две площади целые при любом H, то есть при любом положении т. P.

Значит, в этом пункте нет никаких ограничений на положение т. P.

S(ADP) = AD*L/2 = 99L/2

S(BCP) = BC*(100-L)/2 = 99(100-L)/2

Эти две площади будут целыми, только если L и 100-L - чётные числа.

Подходят ряды на расстоянии 2, 4, 6, ..., 98 от стороны AD.

Рядов (98-2)/2 + 1 = 49, и в каждом по 98 точек.

Всего 49*98 = 4900 - 98 = 4802 точки.

Answer 2

Для решения задачи рассмотрим возможные варианты положения точки p внутри клетки abcd.

Пусть a = 99 и b = 100. Тогда общая площадь прямоугольника abcd равна S = a * b = 99 * 100 = 9900.

Вариантов размещения точки p внутри клетки abcd есть S - 1, так как точка p не может находиться на границе прямоугольника.

Разобьем клетку abcd на четыре прямоугольника - abc, bcd, cda, dab. Площади этих прямоугольников будут равны S1, S2, S3 и S4 соответственно.

Так как сумма площадей четырех прямоугольников должна равняться общей площади прямоугольника abcd, то S1 + S2 + S3 + S4 = S.

Если предположить, что треугольники abp, bcp, cdp и dap являются равными, то S1 = S2 = S3 = S4 = S/4.

Найдем pлощaди треугольников abp, bcp, cdp и dap.

Площадь треугольника abp равна S_abp = S1 + 1/2 * S_abp, где S_abp > 0.

Площадь треугольника bcp равна S_bcp = S2 + 1/2 * S_bcp, где S_bcp > 0.

Площадь треугольника cdp равна S_cdp = S3 + 1/2 * S_cdp, где S_cdp > 0.

Площадь треугольника dap равна S_dap = S4 + 1/2 * S_dap, где S_dap > 0.

Из этих уравнений можно выразить S_abp, S_bcp, S_cdp и S_dap:

S_abp = 2/3 * S1

S_bcp = 2/3 * S2

S_cdp = 2/3 * S3

S_dap = 2/3 * S4

Подставим значения S1, S2, S3 и S4:

S_abp = 2/3 * S/4

S_bcp = 2/3 * S/4

S_cdp = 2/3 * S/4

S_dap = 2/3 * S/4

S_abp = S_bcp = S_cdp = S_dap = S/6

Таким образом, для того чтобы площади всех четырех треугольников abp, bcp, cdp и dap были равны целым числам, общая площадь прямоугольника abcd должна быть кратна 6.

Так как общая площадь прямоугольника abcd равна 9900, то возможных способов отметить точку p таким образом будет 9900/6 = 1650.