Question

Решите уравнение 2sin²x-sin x=1​

Answer 1

2cos²x-sinx-1=0  

2(1-sin²x)-sinx-1=0  

-2sin²x-sinx+1=0  

2sin²x+sinx-1=0  

sinx=y  

2y²+y-1=0  

y₁=½,y₂=-1  

1) sinx=½;x=(-1)ᵏ•(π/6)+πk,k∈Z  

2) sinx=-1;x=-π/2+2πn,n∈Z.

Answer 2

Конечно, я помогу с решением этого уравнения. Давайте разберемся.

У вас есть уравнение \(2\sin^2x - \sin x = 1\).

Давайте представим \(\sin^2x\) как \(1 - \cos^2x\), используя тригонометрическое тождество \(\sin^2x + \cos^2x = 1\):

\(2(1 - \cos^2x) - \sin x = 1\).

Раскроем скобки:

\(2 - 2\cos^2x - \sin x = 1\).

Теперь приведем уравнение к квадратному виду:

\(2\cos^2x + \sin x - 1 = 0\).

Давайте обозначим \(\cos x\) как \(t\) для упрощения выражения:

\(2t^2 + t - 1 = 0\).

Это квадратное уравнение, которое можно решить с помощью квадратного уравнения. Используем дискриминант для нахождения корней:

Дискриминант \(D = b^2 - 4ac\), где \(ax^2 + bx + c = 0\).

В вашем уравнении \(2t^2 + t - 1 = 0\) коэффициенты \(a = 2\), \(b = 1\) и \(c = -1\).

\(D = 1^2 - 4(2)(-1) = 1 + 8 = 9\).

Таким образом, у нас есть дискриминант \(D = 9\), который больше нуля.

Теперь используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения:

\[t = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\]

\[t = \frac{-1 \pm \sqrt{9}}{2(2)}\]

\[t = \frac{-1 \pm 3}{4}\]

Два возможных значения \(t\) будут:

\(t_1 = \frac{-1 + 3}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}\)

\(t_2 = \frac{-1 - 3}{4} = \frac{-4}{4} = -1\)

Теперь зная, что \(t = \cos x\), найдем значения \(x\) для каждого из этих \(t\):

1. Когда \(t = \cos x = \frac{1}{2}\): Это происходит в углах, для которых \(\cos x = \frac{1}{2}\). Такие углы - \(x = \frac{\pi}{3} + 2n\pi\) и \(x = \frac{5\pi}{3} + 2n\pi\), где \(n\) - целое число.

2. Когда \(t = \cos x = -1\): Это происходит в углах, для которых \(\cos x = -1\). Такой угол - \(x = \pi + 2n\pi\), где \(n\) - целое число.

Проверьте эти значения \(x\) в исходном уравнении для подтверждения их корректности.