Question

Доведить що при каждому целому k значения виразу (k+5)(k²-k+1)-k(k+2)²+3 дилиться на 8 ​

Answer 1

Ответ:

данное выражение делится на 8

Answer 2

Для доведения того, что выражение (k+5)(k²-k+1)-k(k+2)²+3 делится на 8 при любом целом значении k, нам нужно показать, что это выражение является кратным 8.

Воспользуемся основным свойством делимости: Если число делится на 8, то его остаток от деления на 8 также равен 0.

Начнем со второго слагаемого -k(k+2)²+3. Перепишем его в виде -k(k+2)(k+2)+3. Заметим, что это выражение кратно 8, так как в нем есть множитель 8 (k+2)(k+2), и числа 3 и -k также могут быть кратными 8, если значение k их делит.

Теперь рассмотрим первое слагаемое (k+5)(k²-k+1). Раскроем скобки и получим k³+4k²-k+5k²+20k-5+k-5+20. Сгруппируем подобные слагаемые: k³+(5k²+20k)+(k-5)+(20-5) = k³+5k(k+4)+k-5+15.

Заметим, что полученное выражение можно разбить на сумму четырех слагаемых: k³, 5k(k+4), k-5 и 15. Каждое из этих слагаемых имеет свой множитель k, который также может быть кратным 8 в зависимости от значения k.

Таким образом, мы получили, что каждое из слагаемых в выражении (k+5)(k²-k+1)-k(k+2)²+3 может быть кратным 8, если значение k делит его.

Следовательно, всё выражение (k+5)(k²-k+1)-k(k+2)²+3 делится на 8 при любом целом значении k.