Question

Найти sin2a , ctga-tga=7/12 0 < a < п/2

Answer 1

Воспользуемся формулой для выражения синуса через тангенс половинного угла (универсальная тригонометрическая подстановка):

$\sin2a=\dfrac{2\mathrm{tg}\,a}{1+\mathrm{tg}^2\,a}$

Следовательно, нужно найти тангенс.

$\mathrm{ctg}\,a-\mathrm{tg}\,a=\dfrac{7}{12}$

$\dfrac{1}{\mathrm{tg}\,a} -\mathrm{tg}\,a=\dfrac{7}{12}$

$12-12\mathrm{tg}^2\,a=7\mathrm{tg}\,a$

$12\mathrm{tg}^2\,a+7\mathrm{tg}\,a-12=0$

$D=7^2-4\cdot12\cdot(-12)=625$

$\mathrm{tg}\,a_1=\dfrac{-7-\sqrt{625} }{2\cdot12} =-\dfrac{4}{3}$

$\mathrm{tg}\,a_2=\dfrac{-7+\sqrt{625} }{2\cdot12} =\dfrac{3}{4}$

Заметим, что первое решение не удовлетворяет условию $0 < a$, так как тангенс в первой четверти принимает положительные значения.

Тогда, используя второе решение, находим требуемую величину:

$\sin2a=\dfrac{2\cdot\dfrac{3}{4}}{1+\left(\dfrac{3}{4}\right)^2}=\dfrac{\dfrac{3}{2}}{1+\dfrac{9}{16}}=\dfrac{3}{2} :\dfrac{25}{16} =\dfrac{3}{2} \cdot\dfrac{16}{25} =\dfrac{24}{25} =0.96$

Ответ: 0.96

Answer 2

Давайте начнем с задачи, в которой нам дано уравнение:

\(\sin(2a) + \cot(a) - \tan(a) = \frac{7}{12}\)

и ограничение на \(a\): \(0 < a < \frac{\pi}{2}\).

Для решения этой задачи давайте воспользуемся тригонометрическими тождествами, чтобы преобразовать уравнение и найти значение \(\sin(2a)\).

Для начала, преобразуем \(\cot(a)\) и \(\tan(a)\) через \(\sin(a)\) и \(\cos(a)\), так как они являются функциями \(\sin\) и \(\cos\):

\(\cot(a) = \frac{1}{\tan(a)} = \frac{1}{\frac{\sin(a)}{\cos(a)}} = \frac{\cos(a)}{\sin(a)}\)

Также помним, что \(\tan(a) = \frac{\sin(a)}{\cos(a)}\).

Теперь подставим это в уравнение:

\(\sin(2a) + \frac{\cos(a)}{\sin(a)} - \frac{\sin(a)}{\cos(a)} = \frac{7}{12}\)

Умножим обе части уравнения на \(\sin(a) \cdot \cos(a)\), чтобы избавиться от знаменателей:

\(\sin(2a) \cdot \sin(a) \cdot \cos(a) + \cos^2(a) - \sin^2(a) = \frac{7}{12} \cdot \sin(a) \cdot \cos(a)\)

Теперь воспользуемся тригонометрическим тождеством \(\sin(2a) = 2\sin(a)\cos(a)\):

\(2\sin(a)\cos(a) \cdot \sin(a) \cdot \cos(a) + \cos^2(a) - \sin^2(a) = \frac{7}{12} \cdot \sin(a) \cdot \cos(a)\)

Упростим это уравнение:

\(2\sin^2(a)\cos^2(a) + \cos^2(a) - \sin^2(a) = \frac{7}{12} \cdot \sin(a) \cdot \cos(a)\)

Теперь мы можем использовать тригонометрическое тождество \(\sin^2(a) + \cos^2(a) = 1\):

\(2\sin^2(a)\cos^2(a) + (1 - \sin^2(a)) - \sin^2(a) = \frac{7}{12} \cdot \sin(a) \cdot \cos(a)\)

Раскроем скобки и упростим:

\(2\sin^2(a)\cos^2(a) + 1 - \sin^2(a) - \sin^2(a) = \frac{7}{12} \cdot \sin(a) \cdot \cos(a)\)

\(2\sin^2(a)\cos^2(a) - 2\sin^2(a) + 1 = \frac{7}{12} \cdot \sin(a) \cdot \cos(a)\)

Теперь давайте выразим \(\sin(2a)\) из этого уравнения. Для этого воспользуемся тригонометрическим тождеством \(\sin(2a) = 2\sin(a)\cos(a)\):

\(\sin(2a) = 2\sin(a)\cos(a) = 2\sin^2(a)\cos(a) - 2\sin(a)\cos^2(a) = 2\sin(a)(1 - \sin^2(a)) - 2\sin(a)\cos^2(a)\)

Теперь у нас есть уравнение для \(\sin(2a)\):

\(\sin(2a) = 2\sin(a)(1 - \sin^2(a)) - 2\sin(a)\cos^2(a)\)

Однако, заметим, что у нас остается квадратичное уравнение относительно \(\sin(a)\), что может быть сложно решить аналитически. Обычно решение таких уравнений включает применение различных методов решения квадратичных уравнений или численных методов для нахождения значения \(\sin(2a)\).

В случае, если были предоставлены ошибки в уравнении или ограничениях, пожалуйста, уточните их, чтобы можно было предоставить более точное решение.