Question

Помогите пожалуйста решить соs^4α -sin^4α + sin2α = √2 cos(2α -π/4)

Answer 1

Объяснение:

${cos}^{4} \alpha - {sin}^{4} \alpha + sin2 \alpha = \sqrt{2} \times cos(2 \alpha - \frac{\pi}{4} )$

1).

${cos}^{4} \alpha - {sin}^{4} \alpha + sin2 \alpha = {( {cos}^{2} \alpha })^{2} - {( {sin}^{2} \alpha )}^{2} + sin2 \alpha = ( {cos}^{2} \alpha + {sin}^{2} \alpha ) \times ( {cos}^{2} \alpha - {sin}^{2} \alpha ) + sin2 \alpha = 1 \times cos2 \alpha + sin2 \alpha = cos2 \alpha + sin2 \alpha$

2).

$\sqrt{2} \times cos(2 \alpha - \frac{\pi}{4} ) = \sqrt{2} \times (cos2 \alpha \times cos \frac{\pi}{4} + sin2 \alpha \times sin \frac{\pi}{4} ) = \sqrt{2} \times (cos2 \alpha \times \frac{ \sqrt{2} }{2} + sin \alpha \times \frac{ \sqrt{2} }{2} ) = \sqrt{2} \times \frac{ \sqrt{2} }{2} \times \: cos2 \alpha + \sqrt{2} \times \frac{ \sqrt{2} }{2} \times sin2 \alpha = cos2 \alpha + sin2 \alpha$

3).

$cos2 \alpha + sin2 \alpha = cos2 \alpha + sin2 \alpha$

тождество доказано

Answer 2

Я могу помочь вам решить эту тригонометрическую задачу. Вот подробный ответ:

Дано: cos^4α - sin^4α + sin2α = √2 cos(2α - π/4)

Решение:

1. Применим формулу сокращенного удвоения: cos(2α - π/4) = cos2α cos(π/4) + sin2α sin(π/4) = (cos2α + sin2α)/√2 = 1/√2 2. Подставим полученное значение в исходное уравнение: cos^4α - sin^4α + sin2α = 1/√2 3. Преобразуем левую часть уравнения, используя формулу разности четвертых степеней: (cos^4α - sin^4α) + sin2α = (cos2α - sin2α)(cos2α + sin2α) + sin2α = cos2α - sin2α + sin2α = cos2α 4. Получаем уравнение: cos2α = 1/√2 5. Решаем уравнение относительно cos2α, используя обратную тригонометрическую функцию: 2α = arccos(1/√2) + 2πk или 2α = -arccos(1/√2) + 2πk, где k - целое число 6. Выражаем α через 2α, деля обе части уравнения на 2: α = arccos(1/√2)/2 + πk или α = -arccos(1/√2)/2 + πk, где k - целое число 7. Находим приближенные значения α в радианах, используя калькулятор или онлайн-сервис: α ≈ 0.3927 + πk или α ≈ -0.3927 + πk, где k - целое число

Ответ: α ≈ 0.3927 + πk или α ≈ -0.3927 + πk, где k - целое число

Надеюсь, это было полезно. Если у вас есть другие вопросы по математике, я буду рад помочь.