Question

Довести, що вираз 7¹⁰-7⁹-7⁸ кратне 41​

Answer 1

Ответ:

70-63-56=41

впринципе вот

Answer 2

Щоб довести, що вираз 7¹⁰ - 7⁹ - 7⁸ є кратним числу 41, ми можемо використовувати конгруентність (заміна залишку при діленні на 41) та арифметичні властивості. Давайте розглянемо кожен член виразу окремо.

1. 7¹⁰: Щоб знайти залишок від ділення 7¹⁰ на 41, ми можемо скористатися малим теоремою Ферма. Малий теорема Ферма стверджує, що для будь-якого простого числа p та цілого числа a, яке не є кратним p, виконується така рівність: a^(p-1) ≡ 1 (mod p).

У нашому випадку, p = 41, а a = 7. Таким чином, застосовуючи малий теорема Ферма:

7^(41-1) ≡ 7^40 ≡ 1 (mod 41)

Отже, 7¹⁰ буде кратним 41, оскільки 7¹⁰ ділиться на 7^40, і 7^40 дорівнює 1 (mod 41).

2. 7⁹: Ми так само можемо застосувати малий теорема Ферма для 7⁹:

7^9 ≡ 7^(41-1-1) ≡ 7^(40-1) ≡ 7^39 ≡ 1 (mod 41)

Отже, 7⁹ також кратне 41.

3. 7⁸: Повторимо цей процес для 7⁸:

7^8 ≡ 7^(41-1-1-1) ≡ 7^(40-1-1) ≡ 7^38 ≡ (7^19)^2 ≡ (7^(41-1))^2 ≡ 1^2 ≡ 1 (mod 41)

Таким чином, 7⁸ теж кратне 41.

Тепер ми маємо доказано, що кожен з членів 7¹⁰, 7⁹ і 7⁸ є кратним 41. Тепер давайте розглянемо сам вираз:

7¹⁰ - 7⁹ - 7⁸ = (7¹⁰ - 7⁹ - 7⁸) + (41k), де k - ціле число, яке представляє інші члени виразу, які можуть бути там.

Зараз ми можемо замінити кожен з членів 7¹⁰, 7⁹ і 7⁸ на 1 (mod 41):

(7¹⁰ - 7⁹ - 7⁸) + (41k) ≡ (1 - 1 - 1) + (41k) ≡ -1 + (41k) ≡ 41k - 1 (mod 41)

Таким чином, ми бачимо, що весь вираз 7¹⁰ - 7⁹ - 7⁸ є кратним 41, оскільки ми можемо записати його у вигляді 41k - 1, де k - ціле число.