Question

ИНТЕГРАЛЫ можете пожалуйста объяснить как решать первообразную, если в числителе дроби единица, а в знаменателе выражение, например: ​

Answer 1

∫dx/(2x+1)=(2/2)∫dx/(2x+1)=∫2dx/(2*(2x+1))=∫d(2x)/(2*(2x+1))=

∫d(2x+1)/(2*(2x+1))=(1/2)∫d(2x+1)/(2x+1)=(1/2)㏑I2x+1I+c

есть такое понятие - инвариантность интеграла. т.е. формула справедлива для любого выражения из области определения.

Обратимся к таблице интегралов. есть формула ∫du/u=㏑IuI+c, я подогнал под эту формулу исходный интеграл. в качестве u у нас выступает (2х+1), здесь еще есть одна заковыка - дифференциал от 2х, он равен

d(2x)=(2x)'*dx=2dx- прочтите эту формулу справа налево, видите, что я заменил 2dx формулой d(2x)? у меня не было в условии двойки, формулу эту создал искусственно, т.е. умножил на два и разделил на два, ничего не случилось? иными словами умножил на единицу.  но двойка в числителе, еще раз повторюсь, дала формулу d(2x), мы ее втянули под дифференциал, а двойка в знаменателе, так там и осталась до конца решения. Далее, чтобы использовать формулу ∫du/u=㏑IuI+c, надо, чтобы и под знаком дифференциала, и в знаменателе было одно и то же выражение. Поэтому втянули под дифференциал и единицу, получили, что 2*dx=d(2x)=d(2x+1), вопрос - а почему это можно делать? ответ прост - дифференциал функции - это производная функции (2x+1)'=2, умноженная на дифференциал аргумента dx, вот откуда эта формула взялась. Чтобы легко ориентироваться в данной теме, надо: знать  таблицу интегралов, но  на первом месте, разумеется, большое желание разобраться во всем этом самостоятельно.

2)∫dx/x²-налицо табличный интеграл, стоит только х² поднять в числитель, но уже с показателем -2, получаем ∫х⁻²dx=х⁻²⁺¹/(-2+1)+с=

х⁻¹/(-1)+с=(-1/х)+с

Резюме) здесь был использован табличный интеграл ∫uⁿdu=uⁿ⁺¹/(n+1)+c, и в качестве u  выступала х⁻²

УДАЧИ.

Answer 2

Для решения первообразной, где в числителе дроби стоит единица, а в знаменателе выражение, нужно воспользоваться методом частичной дробилинации.

1. Представим выражение в знаменателе в виде суммы простых дробей. Для этого разложим его на множители и запишем в виде суммы дробей с неизвестными коэффициентами: Знаменатель = A/(x - a) + B/(x - b) + C/(x - c) + ...

2. Найдем общий знаменатель для всех дробей в разложении, он будет равен произведению всех различных множителей в знаменателе: Общий знаменатель = (x - a)(x - b)(x - c)...

3. Умножим обе части уравнения на общий знаменатель и приведем его к общему знаменателю: 1 = A(x - b)(x - c)... + B(x - a)(x - c)... + C(x - a)(x - b)... + ...

4. Раскроем скобки и соберем одинаковые слагаемые вместе: 1 = (A(x - b)(x - c)... + B(x - a)(x - c)... + C(x - a)(x - b)... + ...)

5. Приравняем коэффициенты при одинаковых степенях x к нулю и решим полученные системы уравнений для определения значений A, B, C и т.д.

6. Подставим найденные значения коэффициентов в выражение для разложенного знаменателя.

7. Теперь можем проинтегрировать полученную дробь, зная, что интеграл от суммы равен сумме интегралов: ∫(1/(x - a)(x - b)(x - c)... dx) = ∫(A/(x - a) + B/(x - b) + C/(x - c) + ...) dx

8. Проинтегрируем каждую дробь по отдельности, используя стандартные интегралы: ∫(A/(x - a) dx) = A ln|x - a| + C1 ∫(B/(x - b) dx) = B ln|x - b| + C2 ∫(C/(x - c) dx) = C ln|x - c| + C3 ...

9. Соберем все полученные интегралы вместе, добавив постоянные интегрирования C1, C2, C3 и т.д.

Таким образом, мы получим первообразную исходной дроби.