Question

2.97. Разложите квадратный трехчлен на множители: 1) х2 – 2x – 48; 2) 2x2 – 5x + 3; 3) 3x2 - 10x + 3; 4) 5х2 – х – 42; 5) 3x2 - 8x + 5; 6) 36x2-12x + 1; 7) 2x2 – 7x + 6; 8) х2 + 9x – 22; 9) x2 – 8x - 84; 10) 4x2 – 11x + 7; 11) 5x2 + 9x + 4; 12) 2x2 – 7x + 5.​

Answer 1

Ответ:

1) x² - 2x - 48 = 0;

D = b² - 4ac;

D = (-2)²- 4 • 1 • (-48) = 4 + 192 = 196; √D = 14;

x = (-b ± √D)/(2a);

x1 = (2 + 14)/2 = 16/2 = 8;

x2 = (2 - 14)/2 = - 12/2 = -6;

x² - 2x - 48 (x - 8)(x + 6).

2) 2x²- 5x + 3 = 0;

D = (-5)² - 4 • 2 • 3 = 25 + 24 = 49; √D = 7;

x1 = (5 + 7)/4 = 12/4 = 3;

x2 = (5 - 7)/4 = -2/4 = -0,5;

2x² - 5x + 3 = 2(x + 0,5)(x - 3) = (2x + 1)(x - 3).

3) 3x² - 10x + 3 = 0;

D = (-10)² - 4 • 3 • 3 = 100 - 36 = 64; √D = 8;

x1 = (10 + 8)/6 = 18/6 = 3;

x2 = (10 - 8)/6 = 2/6 = 1/3;

3x² - 10x + 3 = 3(x - 1/3)(x - 3) = (3x - 1)(x - 3).

4) 5x² - x - 42 = 0;

D = (-1)^2 - 4 • 5 • (-42) = 1 + 840 = 841; √D = 29;

x1 = (1 + 29)/10 = 30/10 = 3;

x2 = (1 - 29)/10 = -28/10 = -2,8;

5x² - x - 42 = 5(x + 2,8)(x - 3) = (5x +14)(x - 3).

5) 3x² - 8x + 5 = 0;

D = (-8)^2 - 4 • 3 • 5 = 64 - 60 = 4; √D = 2;

x1 = (8 + 2)/6 = 10/6 = 5/3;

x2 = (8 - 2)/6 = 6/6 = 1;

3x² -8x + 5 = 3(x - 5/3)(x - 1) = (3x - 5)(x - 1).

6) 36x² - 12x + 1 = 0;

D = (-12)^2 - 4 • 36 • 1 = 144 - 144 = 0;

x1 = x2 = 12/72 = 1/6;

36x²- 12x + 1 = 36(x - 1/6)(x - 1/6) = 6(x - 1/6) * 6(x - 1/6) = (6x - 1)(6x - 1).

Answer 2

Чтобы разложить квадратный трехчлен на множители, давайте воспользуемся методом факторизации.

1) \(x^2 - 2x - 48\): Этот трехчлен можно представить в виде произведения двух линейных множителей. Найдем два числа, такие что их произведение равно последнему члену (48), а их сумма равна коэффициенту при \(x\) (-2). Эти числа -8 и 6. Таким образом: \[x^2 - 2x - 48 = (x - 8)(x + 6)\]

2) \(2x^2 - 5x + 3\): Этот трехчлен также представим в виде произведения двух линейных множителей. Найдем два числа, такие что их произведение равно последнему члену (3), а их сумма равна коэффициенту при \(x\) (-5). Эти числа -3 и -1. Таким образом: \[2x^2 - 5x + 3 = (2x - 3)(x - 1)\]

3) \(3x^2 - 10x + 3\): Ищем два числа, произведение которых равно 3, а сумма равна -10. Эти числа -9 и -1. Таким образом: \[3x^2 - 10x + 3 = (3x - 1)(x - 3)\]

4) \(5x^2 - x - 42\): Ищем два числа, произведение которых равно -42, а сумма равна -1. Эти числа 6 и -7. Таким образом: \[5x^2 - x - 42 = (5x + 6)(x - 7)\]

5) \(3x^2 - 8x + 5\): Ищем два числа, произведение которых равно 15, а сумма равна -8. Эти числа -5 и -3. Таким образом: \[3x^2 - 8x + 5 = (3x - 5)(x - 1)\]

6) \(36x^2 - 12x + 1\): Этот трехчлен является полным квадратом. Его можно представить в виде квадрата двучлена: \[36x^2 - 12x + 1 = (6x - 1)^2\]

7) \(2x^2 - 7x + 6\): Ищем два числа, произведение которых равно 12, а сумма равна -7. Эти числа -3 и -4. Таким образом: \[2x^2 - 7x + 6 = (2x - 3)(x - 2)\]

8) \(x^2 + 9x - 22\): Ищем два числа, произведение которых равно -22, а сумма равна 9. Эти числа 11 и -2. Таким образом: \[x^2 + 9x - 22 = (x + 11)(x - 2)\]

9) \(x^2 - 8x - 84\): Ищем два числа, произведение которых равно -84, а сумма равна -8. Эти числа -14 и 6. Таким образом: \[x^2 - 8x - 84 = (x - 14)(x + 6)\]

10) \(4x^2 - 11x + 7\): Ищем два числа, произведение которых равно 28, а сумма равна -11. Эти числа -7 и -4. Таким образом: \[4x^2 - 11x + 7 = (4x - 7)(x - 1)\]

11) \(5x^2 + 9x + 4\): Ищем два числа, произведение которых равно 20, а сумма равна 9. Эти числа 5 и 4. Таким образом: \[5x^2 + 9x + 4 = (5x + 4)(x + 1)\]

12) \(2x^2 - 7x + 5\): Ищем два числа, произведение которых равно 10, а сумма равна -7. Эти числа -5 и -2. Таким образом: \[2x^2 - 7x + 5 = (2x - 5)(x - 1)\]

Таким образом, получены разложения данных квадратных трехчленов на множители.