Question

Решите неравенство методом интервалов (x+4)(6-x)^8(3x-1)^5>0

Answer 1

Ответ:

$(x+4)(6-x)^8(3x-1)^5>0\\\\(x+4)(x-6)^8(3x-1)^5$

Answer 2

Чтобы решить данное неравенство методом интервалов, мы должны найти интервалы, в которых выражение $(x + 4)(6 - x)^8(3x - 1)^5$ принимает положительные значения.

Для начала, давайте определим значения $x$, при которых каждый из множителей равен нулю. Эти точки называются точками разрыва. Затем мы будем анализировать интервалы между этими точками и определять знак выражения в каждом интервале.

1. Найдем точки разрыва: - $(x + 4) = 0$ => $x = -4$ - $(6 - x)^8 = 0$ => $x = 6$ - $(3x - 1)^5 = 0$ => $x = \frac{1}{3}$

Теперь мы можем анализировать интервалы:

Интервал 1: $(-\infty, -4)$

Подставим в неравенство значение $x = -5$ (любое число меньше -4) и проверим знак выражения: $(-5 + 4)(6 - (-5))^8(3(-5) - 1)^5 = (-1)(11)^8(-16)^5 = -11^8 \cdot 16^5 < 0$

В данном интервале выражение принимает отрицательные значения.

Интервал 2: $(-4, \frac{1}{3})$

Подставим в неравенство значение $x = 0$ (любое число между -4 и $\frac{1}{3}$) и проверим знак выражения: $(0 + 4)(6 - 0)^8(3(0) - 1)^5 = (4)(6)^8(-1)^5 = 4 \cdot 6^8 \cdot (-1)^5 > 0$

В данном интервале выражение принимает положительные значения.

Интервал 3: $(\frac{1}{3}, 6)$

Подставим в неравенство значение $x = 1$ (любое число между $\frac{1}{3}$ и 6) и проверим знак выражения: $(1 + 4)(6 - 1)^8(3(1) - 1)^5 = (5)(5)^8(2)^5 = 5 \cdot 5^8 \cdot 2^5 > 0$

В данном интервале выражение принимает положительные значения.

Интервал 4: $(6, +\infty)$

Подставим в неравенство значение $x = 7$ (любое число больше 6) и проверим знак выражения: $(7 + 4)(6 - 7)^8(3(7) - 1)^5 = (11)(-1)^8(20)^5 = 11 \cdot 1^8 \cdot 20^5 > 0$

В данном интервале выражение принимает положительные значения.

Таким образом, решением данного неравенства является интервал $(-4, \frac{1}{3}) \cup (6, +\infty)$. В этих интервалах выражение $(x + 4)(6 - x)^8(3x - 1)^5$ принимает положительные значения.