Question

Найдите число членов арифметической прогрессии ,если а3-а1=8;а2+а4=14 Sn=111 ​

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

Для арифметической прогрессии:

a2 = a1 + d

a3 = a1 + 2d

a4 = a1 + 3d

Sn = (2a1 + d(n-1))*n/2

Нам известно, что:

{ a3 - a1 = 8

{ a2 + a4 = 14

{ Sn = 111

Подставляем формулы:

{ a1 + 2d - a1 = 8

{ a1 + d + a1 + 3d = 14

{ Sn = 111

Приводим подобные:

{ 2d = 8

{ 2a1 + 4d = 14

Решаем:

{ d = 4

{ a1 + 2d = 7; a1 = 7 - 2d = 7 - 2*4 = -1

Итак, мы нашли: a1 = -1; d = 4

Sn = (2(-1) + 4(n-1))*n/2 = 111

(4n-6)*n/2 = n(2n-3) = 111

2n^2 - 3n - 111 = 0

D = 3^2 - 4*2(-111) = 9 + 888 = 897

n = (3 - √897)/4 < 0 - не подходит

n = (3 + √897)/4 > 0 - подходит

Но количество членов n оказалось иррациональным, чего не может быть.

Видимо, в задаче ошибка.

Проверил. При a1 = -1; d = 4 будет:

S8 = 104; S9 = 135.

Answer 2

Дано: а3 - а1 = 8 а2 + а4 = 14 Sn = 111

Для решения задачи, воспользуемся формулами для арифметической прогрессии.

Формула для нахождения n-го члена арифметической прогрессии: an = a1 + (n - 1) * d,

где an - n-й член прогрессии, a1 - первый член прогрессии, d - разность прогрессии.

Формула для нахождения суммы первых n членов арифметической прогрессии: Sn = (n / 2) * (a1 + an).

Из условия а3 - а1 = 8, можно записать: a1 + 2d - a1 = 8, 2d = 8, d = 4.

Из условия а2 + а4 = 14, можно записать: a1 + d + a1 + 3d = 14, 2a1 + 4d = 14, 2a1 + 16 = 14, 2a1 = -2, a1 = -1.

Теперь можем найти n - количество членов прогрессии. Заменим значения a1 и d в формуле для an: an = a1 + (n - 1) * d, a_n = -1 + (n - 1) * 4, a_n = -1 + 4n - 4, a_n = 4n - 5.

Также известно, что Sn = 111. Подставим значения a1 и an в формулу для Sn: Sn = (n / 2) * (a1 + an), 111 = (n / 2) * (-1 + 4n - 5), 111 = (n / 2) * (4n - 6), 222 = n(4n - 6), 4n^2 - 6n - 222 = 0.

Решим полученное квадратное уравнение: n = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a), n = (-(-6) ± √((-6)^2 - 4 * 4 * (-222))) / (2 * 4), n = (6 ± √(36 + 3552)) / 8, n = (6 ± √3588) / 8.

Так как количество членов прогрессии не может быть отрицательным, то n > 0. Подставим значения в формулу и найдем количество членов прогрессии: n = (6 + √3588) / 8, n ≈ 12.47.

Ответ: количество членов арифметической прогрессии около 12.47 (можно округлить до 12 или 13, в зависимости от требований задачи).