Question

Доведіть, що число 4⁹ + 5⁶ ділиться на 89 ( доведіть повністю)​

Answer 1

$\displaystyle\bf\\4^{9} +5^{6}=\Big(4^{3} \Big)^{3} +\Big(5^{2} \Big)^{3} =64^{3} +25^{3} =\Big(64+25\Big)\Big(64^{2} -64\cdot25+25^{2}\Big)=\\\\\\=89\cdot\Big(64^{2} -64\cdot25+25^{2}\Big)$

Если один из множителей делится на 89 , то и всё произведение делится на 89 .

Answer 2

Ответ:

Ответ на фотографии.

Надеюсь, что помогла.

Объяснение:

Answer 3

Щоб довести, що число \(4^9 + 5^6\) ділиться на 89, можна скористатися малим теоремою Ферма або китайською теоремою залишку.

1. За допомогою малої теореми Ферма:

Малою теоремою Ферма стверджується, що якщо \(p\) - просте число, а \(a\) не ділиться на \(p\), то \(a^{p-1} \equiv 1 \pmod{p}\).

Таким чином, ми можемо перевірити, чи \(4^9 + 5^6 \equiv 1 \pmod{89}\).

Спочатку розглянемо \(4^9\): \[4^9 \equiv (4^3)^3 \equiv 64^3 \equiv (-25)^3 \pmod{89}\]

Застосуємо кілька разів малий залишок: \[(-25)^3 \equiv (-25 \times -25 \times -25) \equiv (-39 \times -25) \equiv 975 \equiv 10 \pmod{89}\]

Тепер розглянемо \(5^6\): \[5^6 \equiv (5^3)^2 \equiv 125^2 \equiv 36^2 \equiv (-53)^2 \pmod{89}\]

Знову застосуємо малий залишок: \[(-53)^2 \equiv 2809 \equiv 2 \pmod{89}\]

Тепер додамо обидва залишки: \[10 + 2 \equiv 12 \pmod{89}\]

Отже, \(4^9 + 5^6 \equiv 12 \pmod{89}\), що не є 1. З цього випливає, що \(4^9 + 5^6\) не ділиться на 89.

2. За допомогою китайської теореми залишку:

Застосуємо китайську теорему залишку для системи конгруенцій:

\[ \begin{cases} x \equiv 0 \pmod{4^9} \\ x \equiv 0 \pmod{5^6} \end{cases} \]

Оскільки \(4^9\) і \(5^6\) взаємно прості, то ця система конгруенцій еквівалентна одній конгруенції за китайською теоремою залишку.

Отже, \(x \equiv 0 \pmod{4^9 \times 5^6}\).

З іншого боку, ми знаємо, що \(4^9 + 5^6 \not\equiv 0 \pmod{89}\) (як показано в першому методі). Таким чином, \(4^9 + 5^6\) не ділиться на 89.

Отже, можна вивести, що \(4^9 + 5^6\) не є кратним 89.