Question

про 3. В геометрической прогрессии (b) известно, что q=-3, a S4 - 30. а) Найдите первый член и четвертый член прогрессии. b) Найдите сумму первых восьми членов геометрической прогрессии.​

Answer 1

Дано: геометрическая прогрессия

$\displaystyle q= -3;S_4=30\\\\S_4=\frac{b_1(q^4-1)}{q-1}=\frac{b_1((-3)^4-1)}{-3-1}= \frac{80b_1}{-4}=-20b_1=30\\\\b_1=\frac{-3}{2}\\\\b_4=b_1*q^3=-\frac{3}{2}*(-3)^3=\frac{81}{2}$

$\displaystyle S_8=\frac{b_1(q^8-1)}{q-1}=\frac{-\frac{3}{2}((-3)^8-1)}{-3-1}=\frac{\frac{-3}{2}(6560)}{-4}= 1640*\frac{3}{2}=2460$

Answer 2

а) Дано, что q = -3 и aS4 = 30, где a - первый член прогрессии, S4 - сумма первых четырех членов прогрессии.

Формула для суммы первых четырех членов геометрической прогрессии: S4 = a(1 - q^4)/(1 - q).

Подставляем известные значения: 30 = a(1 - (-3)^4)/(1 - (-3)^1).

Упрощаем выражение в скобках: 30 = a(1 - 81)/(1 + 3).

Вычисляем: 30 = a(-80)/4.

Делим обе части уравнения на -80: a = -30/80.

Упрощаем дробь: a = -3/8.

Таким образом, первый член прогрессии равен -3/8.

б) Чтобы найти четвертый член прогрессии, воспользуемся формулой общего члена геометрической прогрессии: an = a * q^(n-1), где an - n-й член прогрессии.

Подставляем известные значения: a4 = (-3/8) * (-3)^(4-1).

Вычисляем: a4 = (-3/8) * (-3)^3.

Упрощаем: a4 = (-3/8) * (-27).

Вычисляем произведение: a4 = 81/8.

Таким образом, четвертый член прогрессии равен 81/8.

в) Чтобы найти сумму первых восьми членов геометрической прогрессии, воспользуемся формулой суммы первых n членов геометрической прогрессии: Sn = a(1 - q^n)/(1 - q).

Подставляем известные значения: S8 = (-3/8)(1 - (-3)^8)/(1 - (-3)).

Вычисляем: S8 = (-3/8)(1 - 6561)/(1 + 3).

Упрощаем выражение в скобках: S8 = (-3/8)(-6560)/(4).

Вычисляем произведение: S8 = 3 * 6560/32.

Упрощаем дробь: S8 = 19680/32.

Вычисляем сумму: S8 = 615.

Таким образом, сумма первых восьми членов геометрической прогрессии равна 615.