Question

В какой точки параболы y= -1-x²/2 касательная наклонена к оси абсцисс под углом 45 градусов? В ответе ввести только число. Пример записи: - 6

Answer 1

y = -1 - x²/2

y' = (-1)' + (-x^2/2)' = -1/2(x^2)' = -1/2 * 2x = -x

Пусть абцисса искомой точки равна х, тогда:

y(x)' = pi / 4

-x = pi / 4

x = -pi / 4

y = -1 - (-pi / 4)^2 / 2 = -1 - pi^2 / 32

Ответ: (-pi/4; -1 - pi^2/32)

Answer 2

Для того чтобы найти точку на параболе \(y = -1 - \frac{x^2}{2}\), в которой касательная наклонена к оси абсцисс под углом 45 градусов, мы можем воспользоваться следующими шагами.

1. Найдем производную функции \(y\) по \(x\), чтобы получить уравнение наклонной (производной) в точке \((a, b)\): \[y' = -x\]

2. Угловой коэффициент касательной в данной точке равен производной функции в этой точке, т.е. \(m = -a\).

3. Так как угол наклона касательной к оси абсцисс равен 45 градусам, то \(\tan(45^\circ) = m\).

4. Решим уравнение \(-a = \tan(45^\circ)\) относительно \(a\).

Таким образом, мы получим значение \(a\), которое можно подставить в исходное уравнение параболы для нахождения соответствующего значения \(x\) и далее подставить \(x\) в уравнение параболы для нахождения соответствующего значения \(y\).

Выполним вычисления:

\[\tan(45^\circ) = 1\]

Следовательно, \(-a = 1\), откуда \(a = -1\).

Теперь, подставив \(a\) в уравнение \(y' = -x\), получим \(y' = -(-1) = 1\).

Таким образом, уравнение касательной в точке \((a, b)\) имеет вид \(y = 1x + c\). Чтобы найти \(c\), подставим координаты точки \((a, b)\), т.е. \((-1, -1 - \frac{(-1)^2}{2})\), в уравнение касательной:

\[y = x + c\]

\[-1 - \frac{1}{2} = -1 + c\]

\[c = -\frac{1}{2}\]

Таким образом, уравнение касательной:

\[y = x - \frac{1}{2}\]

Теперь найдем точку пересечения этой касательной с параболой. Подставим \(y\) из уравнения параболы в уравнение касательной:

\[-1 - \frac{x^2}{2} = x - \frac{1}{2}\]

Умножим обе стороны на 2, чтобы избавиться от дроби:

\[-2 - x^2 = 2x - 1\]

Переносим все члены в одну сторону:

\[x^2 + 2x - 1 = 0\]

Решим это квадратное уравнение. Можно воспользоваться квадратным уравнением или методом полного квадрата:

\[x^2 + 2x + 1 - 1 - 1 = 0\]

\[(x + 1)^2 - 1 = 0\]

\[(x + 1)^2 = 1\]

\[x + 1 = \pm 1\]

\[x = 0, -2\]

Таким образом, у нас две точки, в которых касательная к параболе наклонена к оси абсцисс под углом 45 градусов: \(x = 0\) и \(x = -2\). Однако, так как мы искали точку, в которой касательная касается параболы и наклонена под углом 45 градусов, ответ - это значение \(x\) для точки, где \(y = -1 - \frac{x^2}{2}\), и угловой коэффициент касательной равен -1.

Таким образом, ответ: \(-2\).