Question

Дана функция у=3x^5-5x^3+2. Найти точку минимума. В ответе ввести ТОЛЬКО число

Answer 1

у = 3x^5 - 5x^3 + 2

y' = 15x^4 - 15x^2

y'' = 60x^3 - 30x^2

15x^4 - 15x^2 = 0

x^2 (x^2 - 1) = 0

x є {-1; 0; 1} - точки экстремумов

y'' = 60x^3 - 30x^2 > 0

y(-1)'' = -60 - 30 = -90 < 0

y(0)'' = 0 - 0 = 0 = 0

y(1)'' = 60 - 30 = 30 > 0 - единственный подходящий вариант

х = 1

у = 3 * 1^5 - 5 * 1^3 + 2 = 3 - 5 + 2 = 0

Ответ: (1; 0).

Answer 2

Чтобы найти точку минимума функции \(y = 3x^5 - 5x^3 + 2\), нужно найти её производную и приравнять её к нулю. Точка, в которой производная равна нулю, может быть точкой минимума, максимума или седловой точкой. Чтобы определить её тип, можно использовать вторую производную.

1. Найдем производную функции \(y\):

\[y' = 15x^4 - 15x^2\]

2. Приравняем производную к нулю и решим уравнение:

\[15x^4 - 15x^2 = 0\]

Факторизуем:

\[15x^2(x^2 - 1) = 0\]

Таким образом, получаем два значения \(x\):

\[x_1 = 0\]

\[x_2 = \pm 1\]

3. Теперь найдем вторую производную \(y''\):

\[y'' = 60x^3 - 30x\]

4. Подставим найденные значения \(x\) во вторую производную:

Для \(x_1 = 0\):

\[y''(0) = 0\]

Для \(x_2 = 1\):

\[y''(1) = 60(1)^3 - 30(1) = 30 > 0\]

Для \(x_3 = -1\):

\[y''(-1) = 60(-1)^3 - 30(-1) = -30 < 0\]

5. Итак, у нас есть две кандидатуры на точки минимума: \(x = -1\) и \(x = 1\). Так как вторая производная положительна при \(x = 1\), это точка минимума.

Таким образом, точка минимума функции \(y = 3x^5 - 5x^3 + 2\) находится при \(x = 1\).