Question

Розв'язати нерівність х² + 3х + 2 ≤ 0 -х² - 5х + 6 ≥ 0 х²-4х + 4 >0 (2х+1)² -(х+1)(х-7)≤5 2х²-3х-20<0​

Answer 1

$\boxed{ \huge \sf \:attached \: \: files}.$

Answer 2

Розв'яжемо нерівності по черзі:

1. \(x^2 + 3x + 2 \leq 0\)

Для початку розв'яжемо цю квадратну нерівність. Спробуємо розкласти ліву частину на множники:

\(x^2 + 3x + 2 = (x + 1)(x + 2)\)

Тепер потрібно знайти значення x, для яких вираз \(x^2 + 3x + 2\) менше або дорівнює нулю. З цього випливає, що:

\((x + 1)(x + 2) \leq 0\)

Знайдемо корені цього рівняння:

\(x + 1 = 0 \Rightarrow x = -1\) і \(x + 2 = 0 \Rightarrow x = -2\)

Тепер визначимо інтервали, де вираз \(x^2 + 3x + 2\) менше або дорівнює нулю. Це буде інтервал між -2 і -1, включаючи кінці:

\(-2 \leq x \leq -1\)

2. \(-x^2 - 5x + 6 \geq 0\)

Ця квадратна нерівність також може бути розв'язана розкладанням на множники:

\(-x^2 - 5x + 6 = -(x - 2)(x + 3)\)

Знайдемо значення x, для яких цей вираз більше або дорівнює нулю:

\(-(x - 2)(x + 3) \geq 0\)

Розв'яжемо це нерівність:

\(x - 2 = 0 \Rightarrow x = 2\) і \(x + 3 = 0 \Rightarrow x = -3\)

Отже, вираз \(-x^2 - 5x + 6\) менший або рівний нулю на інтервалах:

\(x \leq -3\) або \(x \geq 2\)

3. \(x^2 - 4x + 4 > 0\)

Це квадратне рівняння може бути спрощено до квадрату бінома:

\(x^2 - 4x + 4 = (x - 2)^2\)

Цей вираз завжди більший за нуль, оскільки це квадрат числа, і тому рівняння буде виконане для всіх значень x, окрім x = 2.

4. \((2x + 1)^2 - (x + 1)(x - 7) \leq 5\)

Розкладемо вираз, щоб спростити його:

\((2x + 1)^2 - (x + 1)(x - 7) \leq 5\)

\((4x^2 + 4x + 1) - (x^2 - 6x - 7) \leq 5\)

\(4x^2 + 4x + 1 - x^2 + 6x + 7 \leq 5\)

\(3x^2 + 10x + 8 \leq 5\)

\(3x^2 + 10x + 3 \leq 0\)

Це рівняння можна розв'язати, знаходячи його корені:

\(x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\)

З рівняння \(3x^2 + 10x + 3 = 0\) ми отримаємо:

\(x = \frac{-10 \pm \sqrt{10^2 - 4 * 3 * 3}}{2 * 3}\)

\(x = \frac{-10 \pm \sqrt{100 - 36}}{6}\)

\(x = \frac{-10 \pm \sqrt{64}}{6}\)

\(x = \frac{-10 \pm 8}{6}\)

Таким чином, отримуємо два корені:

\(x = -3\) або \(x = -\frac{1}{3}\)

Тепер ми маємо всі відповіді для кожної нерівності:

1. \(x^2 + 3x + 2 \leq 0\) для \(x \in [-2, -1]\) 2. \(-x^2 - 5x + 6 \geq 0\) для \(x \leq -3\) або \(x \geq 2\) 3. \(x^2 - 4x + 4 > 0\) для всіх \(x\) крім \(x = 2\) 4. \((2x + 1)^2 - (x + 1)(x - 7) \leq 5\) для \(x \in [-3, -\frac{1}{3}]\)